【答案】
分析:(1)根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo),易求得OA=5,若△AOB是等腰三角形,應(yīng)分三種情況考慮:
①OA=OB=5,由于點(diǎn)B的位置不確定,因此要分B在x軸正、負(fù)半軸兩種情況求解,已知了OB的長(zhǎng),即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo);
②OA=AB=5,此時(shí)點(diǎn)B只能在x軸負(fù)半軸上,那么點(diǎn)B的橫坐標(biāo)應(yīng)為點(diǎn)A橫坐標(biāo)的2倍,可據(jù)此求得點(diǎn)B的坐標(biāo);
③AB=OB=5,此時(shí)點(diǎn)B只能在x軸負(fù)半軸上,可在x軸上截取AD=OA,通過構(gòu)建相似三角形:△OBA∽△OAD,通過所得比例線段來(lái)求出OB的長(zhǎng),從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo).
(2)任選一個(gè)(1)題所得的B點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求解即可.
(3)解此題時(shí),雖然不同的拋物線有不同的解,但解法一致;分兩種情況:
①OA∥BP時(shí),可分別過A、P作x軸的垂線,設(shè)垂足為C、E,易證得△AOC∽△PBE,根據(jù)所得比例線段,即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).而梯形ABPO的面積可化為△ABO、△PBO的面積和來(lái)求出.
②OP∥AB時(shí),方法同上,過P作PF⊥x軸于F,然后通過相似三角形:△ABC∽△POF,來(lái)求出P點(diǎn)坐標(biāo),梯形面積求法同上.(當(dāng)OA=AB時(shí),兩種情況的點(diǎn)P正好關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱,可據(jù)此直接求出P點(diǎn)坐標(biāo),避免重復(fù)計(jì)算.)
解答:解:作AC⊥x軸,由已知得OC=4,AC=3,OA=
=5.
(1)當(dāng)OA=OB=5時(shí),
如果點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上,如圖(1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-5,0);
如果點(diǎn)B在x軸的正半軸上,如圖(2),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0);
當(dāng)OA=AB時(shí),點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上,如圖(3),BC=OC,則OB=8,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-8,0);
當(dāng)AB=OB時(shí),點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上,如圖(4),在x軸上取點(diǎn)D,使AD=OA,可知OD=8.
由∠AOB=∠OAB=∠ODA,可知△AOB∽△ODA,
則
,
解得OB=
,
點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-
,0).
(2)當(dāng)AB=OA時(shí),拋物線過O(0,0),A(-4,3),B(-8,0)三點(diǎn),
設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax
2+bx,
可得方程組
,
解得a=
,
,
∴
;
當(dāng)OA=OB時(shí),同理得
.
(3)當(dāng)OA=AB時(shí),若BP∥OA,如圖(5),作PE⊥x軸,
則∠AOC=∠PBE,∠ACO=∠PEB=90°,
△AOC∽△PBE,
.
設(shè)BE=4m,PE=3m,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4m-8,-3m),
代入
,
解得m=3;
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,-9),
S
梯形ABPO=S
△ABO+S
△BPO=48.
若OP∥AB,根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-12,-9),
S
梯形AOPB=S
△ABO+S
△BPO=48.
當(dāng)OA=OB時(shí),若BP∥OA,如圖(6),作PF⊥x軸,
則∠AOC=∠PBF,∠ACO=∠PFB=90°,
△AOC∽△PBF,
;
設(shè)BF=4m,PF=3m,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4m-5,-3m),
代入
,
解得m=
.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-
),
S
梯形ABPO=S
△ABO+S
△BPO=
.
若OP∥AB(圖略),作PF⊥x軸,
則∠ABC=∠POF,∠ACB=∠PFO=90°,
△ABC∽△POF,
;
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-n,-3n),
代入
,
解得n=9.
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-9,-27),S
梯形AOPB=S
△ABO+S
△BPO=75.
點(diǎn)評(píng):此題考查了等腰三角形的判定、二次函數(shù)解析式的確定、梯形的判定、圖形面積的求法等知識(shí).同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,一定要考慮全面,避免漏解.