Question

如圖，設(shè)點(diǎn)M是等腰Rt△ABC的直角邊AC的中點(diǎn)，AD⊥BM于E，AD交BC于D．求證：∠AMB=∠CMD（請用兩種不同的方法證明）

Answer 1

證明：法（1）如圖，延長AD至F，使得CF⊥AC，
∵AB⊥AC，AD⊥BM，
∴∠ABM=∠DAC，
又∵AB=AC，CF⊥AC，
∴△ABM≌△CAF，
∴∠BMA=∠F，AM=CF，
∵∠BCA=∠BCF=45°，AM=CM=CF，DC=DC，
∴△FCD≌△MCD，
∴∠AMB=∠F=∠CMD；

法（2）AD交BM于E，作∠BAC的平分線交BM于N，

∵AE⊥BM，BA⊥AC，
∴∠ABN=∠CAE，
∵∠BAN=∠C=45°，AB=AC，
∴△BAN≌△ACD．
∴AN=CD，
∵∠NAM=∠C=45°，AM=MC
∴△NAM≌△DCM，
∴∠AMB=∠CMD．
分析：法（1）先延長AD至F，使得CF⊥AC，得出∠ABM=∠DAC，再根據(jù)AB=AC，CF⊥AC，得出△ABM≌△CAF，從而證出∠BMA=∠F，AM=CF，再根據(jù)所給的條件得出△FCD≌△MCD，即可得出∠AMB=∠F=∠CMD；
法（2）先作∠BAC的平分線交BM于N，得出∠ABN=∠CAE，再根據(jù)∠BAN=∠C=45°，AB=AC，證出△BAN≌△ACD，得出AN=CD，證出△NAM≌△DCM，即可得出∠AMB=∠CMD．
點(diǎn)評：此題考查了解等腰直角三角形；解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)解等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判斷與性質(zhì)進(jìn)行解答即可．