如圖6，正三角形ABC的邊長為a，D是BC的中點，P是AC邊上的點，連結PB和PD得到△PBD。求：

⑴當點P運動到AC的中點時，△PBD的周長；

⑵△PBD的周長的最小值。

 


、⑴如圖1，當點P運動到AC的中點時，BP⊥AC，DP∥AB，            （2分）

所以 ，，，                             （4分）

即△ABC的周長為BP＋DP＋BD=。                            （5分）

 


⑵如圖2，作點B關于AC的對稱點E，連結EP、EB、ED、EC，則PB＋PD=PE＋PD，因此ED的長就是PB＋PD的最小值，即當點P運動到ED與AC的交點G時，△PBD的周長最小。       （7分）

從點D作DF⊥BE，垂足為F，因為BC=a，所以，。

因為∠DBF=30°，所以，，

，。                             （9分）

所以△PBD的周長的最小值是。                                （10分）

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，面積為a
b
-c的正方形DEFG內接于面積為1的正三角形ABC，其中a，b，c為整數(shù)，且b不能被任何質數(shù)的平方整除，則
a-c
b
的值等于
 
．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

12、如圖，在正三角形ABC中，點D，E分別AB，AC在上，且DE∥BC，如果BC=12cm，AD：DB=1：3，那么三角形ADE的周長=
9
cm．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB上的點，DE⊥AC，EF⊥AB，F(xiàn)D⊥BC，則△DEF的面積與△ABC的面積之比等于
 
．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•陜西）如圖，正三角形ABC的邊長為3+
3
．
（1）如圖①，正方形EFPN的頂點E、F在邊AB上，頂點N在邊AC上，在正三角形ABC及其內部，以點A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面積最大（不要求寫作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的邊長；
（3）如圖②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在邊AB上，點P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個正方形面積和的最大值和最小值，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網已知△ABC是正三角形，正方形EFPN的頂點E、F在邊AB上，頂點N在邊AC上．
（1）如圖，在正三角形ABC及其內部，以點A為位似中心，畫出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面積最大（不謝畫法，但要保留畫圖痕跡）；
（2）若正三角形ABC的邊長為3+2
3
，則（1）中畫出的正方形E′F′P′N′的邊長為
 
．

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