Question

（2012•貴陽）如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線．
（1）三角形有

無數

條面積等分線，平行四邊形有

無數

條面積等分線；
（2）如圖①所示，在矩形中剪去一個小正方形，請畫出這個圖形的一條面積等分線；
（3）如圖②，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，AB≠CD，且S_△ABC＜S_△ACD，過點A畫出四邊形ABCD的面積等分線，并寫出理由．

Answer 1

分析：（1）讀懂面積等分線的定義，得出三角形的面積等分線；平行四邊形的一條對角線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線；
（2）由（1）知，矩形的一條對角線所在的直線就是矩形的一條面積等分線；
（3）能．過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，連接AE．根據“△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等”推知S_△ABC=S_△AEC；然后由“割補法”可以求得S_{四邊形ABCD}=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED．

解答：解：（1）在△ABC中，做BC的中線AD，在這BC上任意取一點E，并將其與頂點A相連，過中點D做它的平行線，交AC與點F，連接EF，即是△ABC的面積等分線．因為連接EF，設EF與AD交于點O，作中線后，△ABD與△ACD的面積相等，即S_{四邊形ABEO}+S_△EOD=S_△AFO+S_{四邊形FODC}．作平行線后，連接EF，設EF與AD交于點O，則△AOF與△EOD面積相等，那么S_{四邊形ABEO}+S_△AFO=S_△EOD+S_{四邊形FODC}，即S_{四邊形ABEF}=S_△EFC，因此直線EF將△ABC分成了面積相等的兩部分，是三角形的面積等分線．因此，按這樣的做法，可以作無數條三角形的面積等分線．；對于平行四邊形應該有無數條，只要過兩條對角線的交點的直線都可以把平行四邊形的面積分成2個相等的部分；
故答案是：無數；無數；

（2）如圖①所示：連接2個矩形的對角線的交點的直線即把這個圖形分成2個相等的部分．即OO′為這個圖形的一條面積等分線；

（3）如圖②所示．能，過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，連接AE．
∵BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等，
∴有S_△ABC=S_△AEC，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED；
∵S_△ACD＞S_△ABC，
所以面積等分線必與CD相交，取DE中點F，則直線AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線．

點評：本題考查了學生的閱讀理解能力、運用作圖工具的能力，以及運用三角形、等底等高性質等基礎知識解決問題的能力都有較高的要求．還滲透了由“特殊”到“一般”的數學思想．