Question

已知：如圖△ABC內(nèi)接于⊙O，OH⊥AC于H，過(guò)A點(diǎn)的切線(xiàn)與OC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D，∠B=30°，OH=5

3

．請(qǐng)求出：
（1）∠AOC的度數(shù)；
（2）劣弧

AC

的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）；
（3）線(xiàn)段AD的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．

Answer 1

分析：（1）由圓周角定理得，∠AOC=2∠B=60°；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)：底邊上的高與頂角的平分線(xiàn)重合知，∠AOH=30°，故可由余弦的概念求得AO的值，進(jìn)而由弧長(zhǎng)公式求得弧AC的長(zhǎng)；
（3）在Rt△AOD中，可由正切的概念求得AD的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∠AOC=2∠B=60°．

（2）在△AOC中，
∵OH⊥AC，OA=OC，
∴OH是等腰三角形AOC的底邊AC上的高，
∴∠AOH=

1

2

∠AOC=30°，
∴AO=

OH

cos30°

=10，
∴

AC

的長(zhǎng)=

nπr

180

=

60×π×10

180

=

10π

3

，
∴

AC

的長(zhǎng)是

10π

3

．

（3）∵AD是切線(xiàn)，
∴AD⊥OA，
∵∠AOC=60°，
∵tan60°=

AD

AO

，
∴AD=AO•tan60°=10

3

．
∴線(xiàn)段AD的長(zhǎng)是10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了圓周角定理，切線(xiàn)的概念，直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的概念，弧長(zhǎng)公式求解．