Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，CD是⊙O的切線，C為切點，AD⊥CD于點D．
求證：∠AOC=2∠ACD．

Answer 1

證明：連接BC，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，即∠OCB+∠ACO=90°，
∴∠ACD=∠OCB，
∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，
∵∠AOC為△BOC的外角，
∴∠AOC=∠B+∠OCB=2∠OCB，
則∠AOC=2∠ACD．
分析：連接BC，由CD為圓O的切線，利用切線的性質得到OC與CD垂直，得到一對角互余，再由AB為圓O的直徑，得到BC與CA垂直，得到一對角互余，利用同角的余角相等得到∠ACD=∠OCB，再由OC=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，∠AOC為三角形BOC的外角，利用外角的性質及等量代換得到∠AOC=2∠OCB，等量代換即可得證．
點評：此題考查了切線的性質，圓周角定理，以及等腰三角形的性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．