Question

李老師在與同學(xué)進(jìn)行“螞蟻怎樣爬最近”的課題研究時設(shè)計了以下三個問題，請你根據(jù)下列所給的重要條件分別求出螞蟻需要爬行的最短路程的長．
（1）如圖1，正方體的棱長為5cm一只螞蟻欲從正方體底面上的點A沿著正方體表面爬到點C₁處；
（2）如圖2，正四棱柱的底面邊長為5cm，側(cè)棱長為6cm，一只螞蟻從正四棱柱底面上的點A沿著棱柱表面爬到C₁處；
（3）如圖3，圓錐的母線長為4cm，圓錐的側(cè)面展開圖如圖4所示，且∠AOA₁=120°，一只螞蟻欲從圓錐的底面上的點A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點A．

Answer 1

分析：將各圖展開，根據(jù)兩點之間線段最短，利用勾股定理解答．

解答：解：

（1）AC1=

AC2+CC12

=

(5+5)2+52

=5

5

；

（2）畫圖分兩種情況：
①當(dāng)橫向剪開時：AC1=

(5+5)2+62

=

136

，
②當(dāng)豎向剪開時：AC1=

(6+5)2+52

=

146

，
∵

146

＞

136

，∴最短路程為2

34

cm．

（3）如圖所示：
連接AA₁，過點O作OD⊥AA₁于點D，
在Rt△ADO和Rt△A₁DO中，
∵OA=OA₁，
∴AD=A₁D，∠AOD=

1

2

∠AOA₁=60°，
∴AD=OAsin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴AA₁=2AD=4

3

，
∴所求的最短的路程為AA₁=4

3

．

點評：此題考查了同學(xué)們的空間想象能力，同時要求同學(xué)們能將立體圖形側(cè)面展開，有一定難度．