Question

已知P（-3，m）和Q（1，m）是拋物線y=2x²+bx+1上的兩點．
（1）求b的值；
（2）判斷關(guān)于x的一元二次方程2x²+bx+1=0是否有實數(shù)根，若有，求出它的實數(shù)根；若沒有，請說明理由；
（3）將拋物線y=2x²+bx+1的圖象向上平移k（k是正整數(shù)）個單位，使平移后的圖象與x軸無交點，求k的最小值．

Answer 1

解：（1）∵點P、Q在拋物線上且縱坐標(biāo)相同，
∴P、Q關(guān)于拋物線對稱軸對稱并且到對稱軸距離相等．
∴拋物線對稱軸，
∴b=4．

（2）由（1）可知，關(guān)于x的一元二次方程為2x²+4x+1=0．
∵△=b²-4ac=16-8=8＞0，
∴方程有實根，
∴x===-1±；

（3）由題意將拋物線y=2x²+bx+1的圖象向上平移k（k是正整數(shù)）個單位，使平移后的圖象與x軸無交點，
∴設(shè)為y=2x²+4x+1+k，
∴方程2x²+4x+1+k=0沒根，
∴△＜0，
∴16-8（1+k）＜0，
∴k＞1，
∵k是正整數(shù)，
∴k的最小值為2．
分析：（1）根據(jù)對稱軸的定義觀察點P（-3，m）和Q（1，m）縱坐標(biāo)相同，求出對稱軸，從而求出b值；
（2）把b值代入一元二次方程，根據(jù)方程的判別式來判斷方程是否有根；
（3）先將拋物線向上平移，在令y=0，得到一個新方程，此方程無根，令△＜0，解出k的范圍，從而求出k的最小值．
點評：此題主要考查一元二次方程與函數(shù)的關(guān)系及函數(shù)平移的知識．