如圖所示,把正方形ABCD繞著點A,按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG,邊FG與BC交于點H.
(1)線段HG與線段HB相等嗎?請先觀察猜想,然后再證明你的猜想;
(2)若旋轉(zhuǎn)角為30°,AB=
5
,求線段HG的長.
分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及HL定理得出Rt△AGH≌Rt△ABH即可得出答案;
(2)利用全等三角形的性質(zhì)得出∠GAH=∠HAB,GH=BH,進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出HG的長.
解答:解:(1)HG=HB,
理由:方法1,連結(jié)AH,
∵四邊形ABCD,AEFG都是正方形
∴∠B=∠G=90°,由題意知AG=AB,
在Rt△AGH和Rt△ABH中
AH=AH
AG=AB

∴Rt△AGH≌Rt△ABH(HL),
∴HG=HB;
方法2:連結(jié)GB,
∵四邊形ABCE,AEFG都是正形,
∴∠ABC=∠AGF=90°
由題意知AB=AG,
∴∠AGB=∠ABG,
∴∠HGB=∠HBG,
∴HG=HB;

(2)∵Rt△AGH≌Rt△ABH,
∴∠GAH=∠HAB,GH=BH,
∵旋轉(zhuǎn)角為30°,AB=
5
,
∴∠GAH=∠HAB=30°,
∴tan30°=
HB
AB
=
GH
AG
,
∴HG=
3
3
×
5
=
15
3
點評:此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系以及全等三角形的判定與性質(zhì),得出Rt△AGH≌Rt△ABH是解題關(guān)鍵.
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