Question

已知：如圖1，△ABC中，BC=7，高AD=3，∠B=45°，垂直于BC的動直線FM、GN分別從B、C兩點同時出發(fā)，向直線AD所在位置平移，直到與AD重合為止．其中M、N為垂足，F(xiàn)、G是兩直線分別與AB、AC的交點．設(shè)FM=x，且在平移過程中始終保持FM=GN．
（1）試用含x的代數(shù)式表示FG；
（2）若點E與點B關(guān)于FM成軸對稱，點H與點C關(guān)于GN成軸對稱，在運動過程，設(shè)點E、F、G、H圍成的凸多邊形的面積為S，試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)x為何值時，S的值為3？

Answer 1

解：（1）∵∠B=45°，AD⊥BC
∴∠BAD=45°
∴∠B=∠BAD，F(xiàn)M=BM=x
∴AD=DB=3
∵BC=7，∴DC=4
∵FM⊥BC，GN⊥BC
∴FM∥GN
∵FM=GN
∴四邊形FMNG是平行四邊形，
∴FG∥BC，
∴△AFG∽△ABC，
∴，
∴，
FG=；

（2）作出B點的對稱點E，C點的對稱點H，連接EF、GH．
ME=BN=x，HN=CN，
∵GN⊥BC，AD⊥BC，∴AD∥GN，∴△CGN∽△CAD，
∴，
∴，
∴CN=，
∴HN=，
∴EH=7-2x-，
∴S=，
S=；

（3）當(dāng)S=3時，
3=，
，．
分析：（1）由條件可以求證四邊形EMNG是平行四邊形，得到FM=DQ，利用△AFG∽△ABC根據(jù)相似三角形的性質(zhì)表示出FG．
（2）通過作輔助線找到點E、H，連接EF、HG，就得到一個梯形，利用梯形的面積公式就可以表示出S與x的關(guān)系式．
（3）把x=3代入（2）的函數(shù)關(guān)系式，就可以求出相應(yīng)的x的值．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，梯形的面積公式．