Question

已知：如圖，直線l：經(jīng)過點(diǎn)M（0，），一組拋物線的頂點(diǎn)B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃），L，B_n（n，y_n）（n為正整數(shù)）依次是直線l上的點(diǎn)，這組拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)依次是：A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），L，A_n+1（x_n+1，0）（n為正整數(shù)），設(shè)x₁=d（0＜d＜1）．
（1）求b的值；
（2）若，求經(jīng)過點(diǎn)A₁、B₁、A₂的拋物線的解析式；
（3）定義：若拋物線的頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”．
探究：當(dāng)d（0＜d＜1）的大小變化時(shí)，這組拋物線中是否存在美麗拋物線？若存在，請(qǐng)你求出相應(yīng)的d的值．
參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （-，），對(duì)稱軸x=-．

Answer 1

解：（1）∵M(jìn)（0，）在y=x+b上，
∴=×0+b
∴b=．

（2）由（1）得：y=x+，
∵B₁（1，y₁）在l上，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y₁=×1+=，
∴B₁（1，）．
∴設(shè)拋物線表達(dá)式為：y=a（x-1）²+（a≠0），
又∵d=，
∴A₁（，0），
∴a=-．
∴經(jīng)過點(diǎn)A₁、B₁、A₂的拋物線的解析式為：y=-（x-1）²+．

（3）存在美麗拋物線．
由拋物線的對(duì)稱性可知，所構(gòu)成的直角三角形必是以拋物線頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∴此等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半．
又∵0＜d＜1，
∴等腰直角三角形斜邊的長(zhǎng)小于2．
∴等腰直角三角形斜邊上的高必小于1，即拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)必小于1．
∵當(dāng)x=1時(shí)，y₁=×1+=＜1，
當(dāng)x=2時(shí)，y₂=×2+=＜1，
當(dāng)x=3時(shí)，y₃=×3+=1＞1，
∴美麗拋物線的頂點(diǎn)只有B₁、B₂．
①若B₁為頂點(diǎn)，由B₁（1，），則d=1-=；
②若B₂為頂點(diǎn)，由B₂（2，），則d=1-[（2-）-1]=，
綜上所述，d的值為或時(shí)，存在美麗拋物線．
分析：（1）由M（0，）在y=x+b上，代入即可求得B的值；
（2）由（1）即可求得：y=x+，又由B₁（1，y₁）在l上，即可求得B₁（1，），設(shè)拋物線表達(dá)式為：y=a（x-1）²+（a≠0），由d=，求得A₁（，0），即可求得經(jīng)過點(diǎn)A₁、B₁、A₂的拋物線的解析式；
（3）由拋物線的對(duì)稱性可知，所構(gòu)成的直角三角形必是以拋物線頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，由此等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半．可得等腰直角三角形斜邊的長(zhǎng)小于2，即可得等腰直角三角形斜邊上的高必小于1，即拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)必小于1，然后分別以x=1，x=2，x=3去分析，即可求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．