Question

（本題滿分10分）閱讀理【解析】

如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與點A．點B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似點．解決問題：

（1）如圖1，∠A=∠B=∠DEC=55°，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由；

（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強相似點E；

拓展探究：

（3）如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處．若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，試探究AB和BC的數(shù)量關系．

 

Answer 1

（1）是；（2）作圖見試題解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）要證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問題得解．

（2）根據(jù)兩個直角三角形相似得到強相似點的兩種情況即可．

（3）因為點E是梯形ABCD的AB邊上的一個強相似點，所以就有相似三角形出現(xiàn)，根據(jù)相似三角形的對應線段成比例，可以判斷出AE和BE的數(shù)量關系，從而可求出解．

試題解析：（1）點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點．

理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°．

∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°．∴∠ADE=∠BEC．

∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC．∴點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點．

（2）作圖如下：

（3）∵點E是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．

由折疊可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，∴∠BCE=∠BCD=30°，

∴BE=CE=AB．

在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°，∴，∴．

考點：相似形綜合題．