已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接PQ. 若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)( 0＜t＜2 )，解答下列問(wèn)題：

（1）t為何值時(shí)，PQ∥BC？

（2）設(shè)△AQP的面積為（），求與t之間的函數(shù)關(guān)系；

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由；

（4）如圖2，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形,那么是否存在t，使四邊形為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

 

【答案】

（1） （2） （3）不存在 （4）存在

【解析】

試題分析：（1）由，得，即當(dāng)時(shí)，PQ∥BC

（2）過(guò)P作PE⊥AC于E，，

（3）若周長(zhǎng)被平分，則，所以，當(dāng)時(shí)，面積為，這個(gè)值部位周長(zhǎng)的一半，即不存在

（4）過(guò)P做PF垂直BC與F，則，當(dāng)時(shí)，三角形PQC是等腰三角形，四邊形PQPC就是菱形

考點(diǎn)：函數(shù)與幾何圖形的幾何

點(diǎn)評(píng)：這類題目，一般都作為試卷壓軸題，學(xué)生多做此類題目，可以有效地掌握題目規(guī)律

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•閘北區(qū)一模）已知：如圖1，在Rt△OAC中，AO⊥OC，點(diǎn)B在OC邊上，OB=6，BC=12，∠ABO+∠C=90°．動(dòng)點(diǎn)M和N分別在線段AB和AC邊上．
（l）求證△AOB∽△COA，并求cosC的值；
（2）當(dāng)AM=4時(shí)，△AMN與△ABC相似，求△AMN與△ABC的面積之比；
（3）如圖2，當(dāng)MN∥BC時(shí)，將△AMN沿MN折疊，點(diǎn)A落在四邊形BCNM所在平面的點(diǎn)為點(diǎn)E．設(shè)MN=x，△EMN與四邊形BCNM重疊部分的面積為y，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

根據(jù)所給的基本材料，請(qǐng)你進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚�，編寫一道綜合題．
編寫要求：①提出具有綜合性、連續(xù)性的三個(gè)問(wèn)題；②給出正確的解答過(guò)程；③寫出編寫意圖和學(xué)生答題情況的預(yù)測(cè)．
材料①：如圖，先把一矩形紙片ABCD對(duì)折，得到折痕MN，然后把B點(diǎn)疊在折痕線上，得到△ABE，再過(guò)點(diǎn)B把矩形ABCD第三次折疊，使點(diǎn)D落在直線AD上，得到折痕PQ．當(dāng)沿著B(niǎo)E第四次將該紙片折疊后，點(diǎn)A就會(huì)落在EC上．
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材料②：已知AC是∠MAN的平分線．
（1）在圖1中，若∠MAN=120°，∠ABC=ADC=90°，求證：AB+AD=AC；
（2）在圖2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在圖3中：若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，
則AB+AD=
 
AC（用含α的三角函數(shù)表示）．
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材料③：
已知：如圖甲，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿線段BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿線段AC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜2）．
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編寫試題選取的材料是
 
（填寫材料的序號(hào)）
編寫的試題是：（1）設(shè)△AQP的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）是否存在某一時(shí)刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值．
（3）如圖（2），連接PC，并把△PQC沿QC翻折得到四邊形PQP'C．是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形PQP'C為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)．
試題解答（寫出主要步驟即可）：（1）過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥AP于點(diǎn)D，證△AQD∽△ABC，利用相似性質(zhì)及面積解答；
（2）分別求得Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積，由周長(zhǎng)求出t，代入函數(shù)解析式驗(yàn)證；
（3）利用余弦定理得出PC、PQ，聯(lián)立方程，求得t，再代入PC解得答案．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知：如圖1，在Rt⊿ACB中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s;點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s;連接PQ.若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)(0<t<2).解答下列問(wèn)題：

1.①.當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC? 

2.②.設(shè)⊿AQP的面積為y(cm),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

3.③.是否存在某一時(shí)刻t,使線段PQ恰好把Rt⊿ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由；

4.④.如圖2，連接PC，并把⊿PQC沿QC翻折，得到四邊形PQC,那么是否存在某時(shí)刻t，使四邊形PQC為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由。

 

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年重慶市萬(wàn)州區(qū)初中數(shù)學(xué)教師專業(yè)知識(shí)競(jìng)賽試卷（解析版） 題型：解答題

根據(jù)所給的基本材料，請(qǐng)你進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚�，編寫一道綜合題．
編寫要求：①提出具有綜合性、連續(xù)性的三個(gè)問(wèn)題；②給出正確的解答過(guò)程；③寫出編寫意圖和學(xué)生答題情況的預(yù)測(cè)．
材料①：如圖，先把一矩形紙片ABCD對(duì)折，得到折痕MN，然后把B點(diǎn)疊在折痕線上，得到△ABE，再過(guò)點(diǎn)B把矩形ABCD第三次折疊，使點(diǎn)D落在直線AD上，得到折痕PQ．當(dāng)沿著B(niǎo)E第四次將該紙片折疊后，點(diǎn)A就會(huì)落在EC上．

材料②：已知AC是∠MAN的平分線．
（1）在圖1中，若∠MAN=120°，∠ABC=ADC=90°，求證：AB+AD=AC；
（2）在圖2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在圖3中：若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，
則AB+AD=______AC（用含α的三角函數(shù)表示）．

材料③：
已知：如圖甲，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿線段BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿線段AC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜2）．

編寫試題選取的材料是______（填寫材料的序號(hào)）
編寫的試題是：（1）設(shè)△AQP的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）是否存在某一時(shí)刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值．
（3）如圖（2），連接PC，并把△PQC沿QC翻折得到四邊形PQP'C．是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形PQP'C為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)．
試題解答（寫出主要步驟即可）：（1）過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥AP于點(diǎn)D，證△AQD∽△ABC，利用相似性質(zhì)及面積解答；
（2）分別求得Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積，由周長(zhǎng)求出t，代入函數(shù)解析式驗(yàn)證；
（3）利用余弦定理得出PC、PQ，聯(lián)立方程，求得t，再代入PC解得答案．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年四川省九年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

已知：如圖1，在Rt⊿ACB中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s;點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s;連接PQ.若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)(0<t<2).解答下列問(wèn)題：

1.①.當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC? 

2.②.設(shè)⊿AQP的面積為y(cm),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

3.③.是否存在某一時(shí)刻t,使線段PQ恰好把Rt⊿ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由；

4.④.如圖2，連接PC，并把⊿PQC沿QC翻折，得到四邊形PQC,那么是否存在某時(shí)刻t，使四邊形PQC為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由。

 

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