Question

已知拋物線的函數(shù)關(guān)系式：y=x²+2（a-1）x+a²-2a（其中x是自變量），
（1）若點(diǎn)P（2，3）在此拋物線上，
①求a的值；
②若a＞0，且一次函數(shù)y=kx+b的圖象與此拋物線沒有交點(diǎn)，請你寫出一個(gè)符合條件的一次函數(shù)關(guān)系式（只需寫一個(gè)，不要寫過程）；
（2）設(shè)此拋物線與軸交于點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0）．若x₁＜

3

＜x₂，且拋物線的頂點(diǎn)在直線x=

3

4

的右側(cè)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①將P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出a的值．
②可根據(jù)①得出的a的值求出拋物線的解析式，然后根據(jù)拋物線的解析式即可寫出符合條件的一次函數(shù)關(guān)系式．
（2）本題可從兩方面考慮：
①根據(jù)x₁＜

3

＜x₂，以及拋物線的開口向上可得出當(dāng)x=

3

時(shí)，函數(shù)值必小于0，由此可得出一個(gè)a的取值范圍．
②由于拋物線的頂點(diǎn)在直線x=

3

4

的右側(cè)，也就是說拋物線的對稱軸在x=

3

4

的右側(cè)，由此可得出另一個(gè)a的取值范圍．結(jié)合兩種情況即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）①將P（2，3）代入y=x²+2（a-1）x+a²-2a
得a²+2a-3=0，（a+3）（a-1）=0
∴a=-3或a=1
②∵a＞0，
∴由（1）知a=1，原函數(shù)化簡為y=x²-1，
故與此拋物線無交點(diǎn)的直線可以是y=x-2．

（2）∵頂點(diǎn)在x=

3

4

右側(cè)，即對稱軸x=-

2(a-1)

2×1

=1-a在x=

3

4

的右側(cè)，
∴1-a＞

3

4

∴a＜

1

4

由于x₁＜

3

＜x₂；
∴拋物線在自變量取

3

時(shí)，
∵變量必小于0．
∴3+2

3

（a-1）+a²-2a＜0；
解得-

3

＜a＜2-

3

∵x=-（a-1）＞

3

4

，即a＜

1

4

；
∴-

3

＜a＜

1

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的相關(guān)知識．