Question

如圖，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一點，且AD⊥AB，點E是BD的中點，連接AE．
（1）求證：∠AEC=∠C；
（2）求證：BD=2AC．

Answer 1

考點：等腰三角形的判定與性質,直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：（1）在Rt△ADB中，點E是BD的中點；根據直角三角形的性質，可得BE=AE，故∠AEC=2∠B=∠C；
（2）同（1），可得BD=2AE，再根據（1）的結論可得AE=AC，代換可得結論．

解答：（1）證明：∵AD⊥AB，
∴△ABD為直角三角形，
又∵點E是BD的中點，
∴AE=

1

2

BD，
又∵BE=

1

2

BD，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE，
又∵∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠AEC=∠B+∠B=2∠B，
又∵∠C=2∠B，
∴∠AEC=∠C．

（2）證明：∵∠AEC=∠C，
∴AE=AC，
又∵AE=

1

2

BD，
∴BD=2AE，
∴BD=2AC．

點評：本題考查直角三角形的有關性質、三角形的外角性質，等腰三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力，題目比較好，難度適中．