Question

任意平方數(shù)除以8余數(shù)為0，1，4（這是平方數(shù)的又一重要特征）．

Answer 1

證明：奇數(shù)可以表示為2k+1，從而
奇數(shù)²=4k²+4k+1=4k（k+1）+1．
因?yàn)閮蓚�(gè)連續(xù)正整數(shù)k，k+1中必有偶數(shù)，所以4k（k+1）是8的倍數(shù)，從而
奇數(shù)²=8t+1≡1（mod8），
偶數(shù)²=（2k）²=4k²（k為正整數(shù)）．
（1）若k=偶數(shù)=2t，則4k²=16t²≡0（mod8）．
（2）若k=奇數(shù)=2t+1，則4k²=4（2t+1）²=16（t²+t）+4≡4（mod8），
所以，平均數(shù)≡

0(mod8) 1(mod8) 4(mod8)

，
即任意平方數(shù)除以8余數(shù)為0，1，4．