Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在圓上，且=．
（1）求證：AC∥OD．
（2）若∠AOD=110°，求的度數(shù)．

Answer 1

（1）證明：如圖，連接AD．
∵=，
∴=2
∴∠CAB=2∠DAB．
又∵∠DOB=2∠DAB，
∴∠CAB=∠DOB，
∴AC∥OD；

（2）解：如圖，連接OC．
∵∠AOD=110°，
∴∠DOB=70°．
又∵=，
∴∠COD=∠DOB=70°，
∴∠AOC=∠AOD-∠COD=110°-70°=40°，
∴=40°．
分析：（1）如圖，連接AD．由圓心角、弧、弦間的關(guān)系，圓周角定理推知同位角∠CAB=∠DOB=2∠DAB，則易證得結(jié)論；
（2）由鄰補(bǔ)角的定義、圓心角、弧、弦的關(guān)系求得∠COD=∠DOB=70°，則∠AOC=∠AOD-∠COD=110°-70°=40°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓心角、弧、弦間的關(guān)系．三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．