Question

（2013•金山區(qū)一模）已知拋物線圖象經(jīng)過點A（3，0），頂點坐標（0，3）．
（1）寫出拋物線的解析式．
（2）當y≤-1時，x的取值范圍．
（3）在頂點與x軸的兩交點的圖象中，是否存在著一個以原點為圓心，半徑為3的半圓在此圖象內(nèi)，請結(jié)合圖象給于說明．（草圖）

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線頂點式解析式為y=ax²+3，然后點A的坐標代入解析式求出a的值，從而得解；
（2）令y=-1，求出x的值，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性寫出x的取值范圍；
（3）設(shè)拋物線在第一象限內(nèi)任意一點P₁（x₁，y₁），根據(jù)拋物線解析式用y₁表示出x₁²，再寫出圓心在原點半徑為3的圓的解析式，消掉x得到關(guān)于y、y₁的關(guān)系式，整理后根據(jù)x的取值范圍求出y＞y₁，從而得到不存在一個以原點為圓心，半徑為3的半圓在此圖象內(nèi)．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點坐標（0，3），
∴設(shè)拋物線頂點式解析式為y=ax²+3，
把點A（3，0）代入得，9a+3=0，
解得a=-

1

3

．
所以，拋物線的解析式為y=-

1

3

x²+3；

（2）當y=-1時，-

1

3

x²+3=-1，
整理得，x²=12，
解得x₁=-2

3

，x₂=2

3

，
所以，y≤-1時，x的取值范圍是x≤-2

3

或x≥2

3

；

（3）如圖所示，設(shè)拋物線在第一象限內(nèi)任意一點P₁（x₁，y₁）與圓上的點P（x，y）重合，
令x₁=x（0＜x₁＜3），
由y₁=-

1

3

x₁²+3得，x₁²=9-y₁，
由圓x²+y²=3²得，x²=9-y²，
∴9-y²=9-y₁，
y=

3y1

=

3

y1

•y₁，
∵0＜y₁＜3，
∴y＞y₁，
即OP＞OP₁，
∴除拋物線與y正半軸和x軸的交點在圓上外，其余部分都不存在著一個以原點為圓心，半徑為3的半圓在此圖象內(nèi)．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的增減性，以及二次函數(shù)與圓的關(guān)系，（3）求出圓上的點到原點的距離大于拋物線上的點到原點距離是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．