Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過點D．
（1）求證：BC是⊙O切線；      
（2）若BC=8，∠B=30°，求AC的長．

Answer 1

（1）證明：如圖，連接OD．設(shè)AB與⊙O交于點E．
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAC=2∠BAD，
又∵∠EOD=2∠EAD，
∴∠EOD=∠BAC，
∴OD∥AC．
∵∠ACB=90°，
∴∠BDO=90°，即OD⊥BC，
又∵OD是⊙O的半徑，
∴BC是⊙O切線．

（2）解：∵在Rt△ACB中，∠C=90°，∠B=30°，BC=8，
∴AC=BC×tan30°=8×=．
分析：（1）如圖，連接OD．欲證BC是⊙O切線，只需證明OD⊥BC即可．
（2）在Rt△ACB中，解直角三角形求出AC即可．
點評：本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，解直角三角形，切線的判定的應(yīng)用，題目比較典型，是一道比較好的題目，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．