Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD垂直AB，垂足為H．
（1）求證：AC²=AH•AB．
（2）當(dāng)AB旋轉(zhuǎn)到AE的位置時(shí)，弦AE的延長線與弦CD的延長線交于點(diǎn)F，此時(shí)是否仍有（1）的結(jié)論成立（即：AC²=AF•AE）？請說明理由．
（3）過點(diǎn)F作⊙O的切線FP，切點(diǎn)為P，連接AP交CF于G，已知AC=3

3

，AE：EF=3：4，求FG的長．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，CH⊥AB，易證得Rt△ACH∽Rt△ABC，根據(jù)相似三角形求得的比例線段，即可得到所求的結(jié)論．
（2）連接CE，證△ACE∽△AFC即可；由于AB⊥CD，由垂徑定理知A是弧CD的中點(diǎn)，即可由圓周角定理得到∠CEA=∠ACF，再加上公共角∠CAF，即可證得兩個(gè)三角形相似，由此得證．
（3）連接OP，由切線的性質(zhì)知∠OPF=90°，那么∠GPF、∠PGF（即∠AGH）為等角的余角，由此可得∠PGF=∠GPF，即PF=FG，因此只需求得PF的長即可，由（2）的結(jié)論可求得AE、AF、EF的值，進(jìn)而可由切割線定理得到PF的值，由此得解．

解答：解：（1）證明：∵AB是直徑，且CD⊥AB，∠ACB=∠AHC，
∴△ABC∽△ACH，
∴

AC

AH

=

AB

AC

，即AC²=AH•AB．

（2）上面的結(jié)論成立．
連接CE；
∵直徑AB⊥CD，
∴

CA

=

AD

，即∠CEA=∠ACF，
又∵∠CAE=∠FAC，
∴△ACF∽△AEC，
∴AC²=AE•AF．

（3）連接OP，則OP⊥PF；
∵∠GPF=90°-∠OPA，∠AGH=90°-∠OAP，
且∠OPA=∠OAP，∠AGH=∠PGF，
∴∠GPF=∠PGF，即FP=FG；
設(shè)AE=3x，EF=4x；
∵AC²=AF•AE，
∴(3

3

)2=7x•3x，∴x2=

9

7

；
由切割線定理得：FP²=EF•AF，∴FP²=4x•7x=28x²=36，
∴FP=6，
故FG=FP=6．

點(diǎn)評：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，還涉及到圓周角定理、切割線定理、切線的性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用，難度適中．