Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，O為AB上一點，以O為圓心，OA為半徑作圓O與BC相切于點D，分別交AC、AB于E、F，若CD=2CE=4，則⊙O的直徑為

10

．

Answer 1

分析：先求半徑，連接OD，過O作AC的垂線，設垂足為G；先用切割線定理求出AC的長，即可得出AE，易知四邊形ODCG是矩形，根據垂徑定理，求得AE的一半，再根據四邊形ODCG是矩形，即可得出半徑，就能算出直徑．

解答：
解：連接OD，過O作AC的垂線，設垂足為G，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠OGC=∠ODC=90°，
∴四邊形ODCG是矩形，
∵CD是切線，CEA是割線，
∴CD²=CE•CA，
∵CD=2CE=4，
∴AC=8，
∴AE=6，
∴GE=

1

2

AE=3，
∴OD=CG=EG+EC=3+2=5，
∴⊙O的直徑為10．
故答案為：10

點評：此題考查了切線的性質，矩形的判定與性質，垂徑定理，以及切割線定理，其中作出相應的輔助線是解本題的關鍵．