Question

在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，過(guò)C點(diǎn)作CE⊥BD于E，延長(zhǎng)AF、EC交于點(diǎn)H，下列結(jié)論中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED，正確的個(gè)數(shù)是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：求出OA=OC=OD=BD，求出∠ADB=30°，求出∠ABO=60°，得出等邊三角形AOB，求出AB=BO=AO=OD=OC=DC，推出BF=AB，求出∠H=∠CAH=15°，求出DE=EO，根據(jù)以上結(jié)論推出即可．
解答：根據(jù)已知條件不能推出AF=FH，∴①錯(cuò)誤；
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AD=，AB=1，
∴tan∠ADB==，
∴∠ADB=30°，
∴∠ABO=60°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴AO=BO，
∴△ABO是等邊三角形，
∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∵AB=BO，
∴BF=BO，∴②正確；
∵∠BAO=60°，∠BAF=45°，
∴∠CAH=15°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEO=90°，
∵∠EOC=60°，
∴∠ECO=30°，
∴∠H=∠ECO-∠CAH=30°-15°=15°=∠CAH，
∴AC=CH，
∴③正確；
∵△AOB是等邊三角形，
∴AO=OB=AB，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，
∴DC=OC=OD，
∵CE⊥BD，
∴DE=EO=DO=BD，
即BE=3ED，∴④正確；
即正確的有3個(gè)，
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線定義，定義三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，難度偏大，對(duì)學(xué)生提出較高的要求．