在△ABC中,AC=BC=2,∠C=90°.將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處,將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),三角板的兩直角邊分別交邊AC、CB于點(diǎn)D、E.
(1)如圖①,當(dāng)PD⊥AC時,則DC+CE的值是
 

(2)如圖②,當(dāng)PD與AC不垂直時,(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立,請予以證明;若不成立,請說明理由;
(3)如圖③,在∠DPE內(nèi)作∠MPN=45°,使得PM、PN分別交DC、CE于點(diǎn)M、N,連接MN.那么△CMN的周長是否為定值?若是,求出定值;若不是,請說明理由.
考點(diǎn):全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形
專題:
分析:(1)由等腰三角形的性質(zhì)和P為斜邊AB的中點(diǎn)可知DC=1,CE=1,所以DC+CE的值可求;
(2)結(jié)論成立.連接PC,通過證明△PCD≌△PBE.可得DC=EB,所以DC+CE=EB+CE=BC=2;
(3)△CMN的周長為定值,且周長為2. 在EB上截取EF=DM,通過證明△PMN≌△PFN,得到MN=NF. 所以MC+CN+NM=MC+CN+NE+EF=MC+CE+DM═DC+CE=2.
解答:解:(1)DC+CE=2;      
(2)結(jié)論成立.連接PC,如圖②.   
∵△ABC是等腰直角三角形,P是AB的中點(diǎn),
∴CP=PB,CP⊥AB,∠ACP=
1
2
∠ACB=45°.
∴∠ACP=∠B=45°,∠CPB=90°.   
∴∠BPE=90°-∠CPE.
又∵∠DPC=90°-∠CPE,
∴∠DPC=∠EPB.        
∴△PCD≌△PBE.
∴DC=EB,
∴DC+CE=EB+CE=BC=2.     
(3)△CMN的周長為定值,且周長為2.      
在EB上截取EF=DM,如圖③,
由(2)可知:PD=PE,∠PDC=∠PEB,
∴△PDM≌△PEF,
∴∠DPM=∠EPF,PM=PF.
∵∠NPF=∠NPE+∠EPF=∠NPE+∠DPM
=∠DPE-∠MPN
=45°=∠NPM.
∴△PMN≌△PFN,
∴MN=NF.       
∴MC+CN+NM=MC+CN+NE+EF,
=MC+CE+DM,
=DC+CE,
=2.
∴△CMN的周長是2.
點(diǎn)評:此題比較復(fù)雜,綜合考查全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、圖形的變換.綜合性很強(qiáng),是一道不錯的題目.
練習(xí)冊系列答案
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m
x
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(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)和m的值;
(2)根據(jù)圖象直接寫出關(guān)于x的不等式2x-4-
m
x
<0的解.

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;
(2)(2)在圖4中,給出平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A,B,D的坐標(biāo)(如圖4所示),求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)(C點(diǎn)坐標(biāo)用含a,b,c,d,e,f的代數(shù)式表示).

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∴∠B=∠CDF(
 

∵∠B=∠C
∴∠CDF=∠C(
 

∴AC∥BD(
 

∴∠E=∠F(
 

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2
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5
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