Question

（2011四川瀘州，27，10分）已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象的頂點坐標為 (0，)，且 ac=．
（1）若該函數的圖象經過點（-1，-1）．
①求使y＜0成立的x的取值范圍．
②若圓心在該函數的圖象上的圓與x軸、y軸都相切，求圓心的坐標．
（2）經過A（0，p）的直線與該函數的圖象相交于M，N兩點，過M，N作x軸的垂線，垂足分別為M₁，N₁，設△MAM₁，△AM₁N₁，△ANN₁的面積分別為s₁，s₂，s₃，是否存在m，使得對任意實數p≠0都有s₂²=ms₁s₃成立，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函數y=ax²+bx+c的圖象的頂點坐標為 (0，)，且 ac=，
又∵函數的圖象經過點（－1，－1），
代入二次函數解析式得方程組，解得： a=－，b=0，c=－，y=－x²-－，
①利用函數圖象可知使y＜0成立的x的取值范圍是：全體實數；
②若圓心在該函數的圖象上的圓與x軸、y軸都相切，
假設與x軸切點為Q，與y軸切點為F，
∴OQ=FO，∴－x==－x²-－，整理得：x ²-2x+1=0，解得：x ₁=x ₂=1，
∴QO=FO=1，∴圓心的坐標為：（1，－1）或（－1，1）；
（2）存在m，使得對任意實數p≠0都有s₂²=ms₁s₃成立．解析:
略