(2007•綿陽)如圖,已知拋物線y=ax2+bx-3與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心M(1,m)恰好在此拋物線的對(duì)稱軸上,⊙M的半徑為.設(shè)⊙M與y軸交于D,拋物線的頂點(diǎn)為E.
(1)求m的值及拋物線的解析式;
(2)設(shè)∠DBC=α,∠CBE=β,求sin(α-β)的值;
(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似?若存在,請(qǐng)指出點(diǎn)P的位置,并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)題意與圖象可得點(diǎn)C的坐標(biāo),根據(jù)圓的性質(zhì)可得點(diǎn)B的坐標(biāo),根據(jù)對(duì)稱軸方程與點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求得函數(shù)的解析式;
(2)由拋物線的解析式可求得點(diǎn)A,E,B,C,D的坐標(biāo),判斷Rt△BOD∽R(shí)t△BCE,得∠CBE=∠OBD=β,因此sin(α-β)=sin(∠DBC-∠OBD)=sin∠OBC=
(3)顯然Rt△COA∽R(shí)t△BCE,此時(shí)點(diǎn)P1(0,0),
過A作AP2⊥AC交y正半軸于P2,由Rt△CAP2∽R(shí)t△BCE,得P2(0,),
過C作CP3⊥AC交x正半軸于P3,由Rt△P3CA∽R(shí)t△BCE,得P3(9,0),
故在坐標(biāo)軸上存在三個(gè)點(diǎn)P1(0,0),P2(0,),P3(9,0),使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似.
解答:解:(1)由題意可知C(0,-3),-=1,
∴拋物線的解析式為y=ax2-2ax-3(a>0),
過M作MN⊥y軸于N,連接CM,則MN=1,CM=,
∴CN=2,于是m=-1.
同理可求得B(3,0),
∴a×32-2a×3-3=0,得a=1.
∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3.

(2)由(1)得A(-1,0),E(1,-4),B(3,0),C(0,-3).
∵M(jìn)到AB,CD的距離相等,OB=OC,
∴OA=OD,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,1),
∴在Rt△BCO中,BC==3,
,
在△BCE中,∵BC2+CE2=(32+32)+[(1-0)2+(-4+3)2]=20=(3-1)2+(0+4)2=BE2
∴△BCE是Rt△
,
,
,
∴Rt△BOD∽R(shí)t△BCE,得∠CBE=∠OBD=β,
因此sin(α-β)=sin(∠DBC-∠OBD)=sin∠OBC=

(3)顯然Rt△COA∽R(shí)t△BCE,此時(shí)點(diǎn)P1(0,0).
過A作AP2⊥AC交y正半軸于P2,
由Rt△CAP2∽R(shí)t△BCE,得P2(0,).
過C作CP3⊥AC交x正半軸于P3,由Rt△P3CA∽R(shí)t△BCE,得P3(9,0).
故在坐標(biāo)軸上存在三個(gè)點(diǎn)P1(0,0),P2(0,),P3(9,0),
使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似.
點(diǎn)評(píng):此題考查了二次函數(shù)與圓的知識(shí)的綜合應(yīng)用,要注意分析圖形,應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)與判定,要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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(1)求m的值及拋物線的解析式;
(2)設(shè)∠DBC=α,∠CBE=β,求sin(α-β)的值;
(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似?若存在,請(qǐng)指出點(diǎn)P的位置,并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(1)求m的值及拋物線的解析式;
(2)設(shè)∠DBC=α,∠CBE=β,求sin(α-β)的值;
(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似?若存在,請(qǐng)指出點(diǎn)P的位置,并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似?若存在,請(qǐng)指出點(diǎn)P的位置,并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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