(2013•長寧區(qū)一模)如圖,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,⊙O 是Rt△ABC的內(nèi)切圓,其半徑為1,E、D是切點(diǎn),∠BOC=105°.求AE的長.
分析:首先根據(jù)切線長的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)得出BD的長,進(jìn)而得出BC的長以及AB的長,即可得出AE的長.
解答:解:連接OD、OE.
則OD=OE=1,
∵O是△ABC的內(nèi)切圓圓心
∴OB、OC分別是∠ABC、∠ACB的角平分線,
∠OBD=∠OBE=
1
2
∠ABC
∠OCD=
1
2
∠ACB

又∵∠ACB=90°,∴∠OCD=
1
2
∠ACB=45°
,
∵OD、OE是過切點(diǎn)的半徑,
∴OD⊥BC 且OE⊥AB,∴∠OCD+∠COD=90°,
∴∠COD=∠OCD=45°,∴OD=CD=1,
∵∠COB=105°,∴∠DOB=∠COB-∠COD=60°,
在Rt△OBD中,
tan∠BOD=
DB
OD
=
DB
1
=
3
,
DB=
3

∠OBD+∠BOD=90°,∴∠OBD=30°,
∠DOB=∠OBE=
1
2
∠ABC=30°

∴∠ABC=60°,
∴BC=BD+CD=1+
3

在Rt△ABC中,
AB=2+2
3
,
在Rt△OBE中,
∵OE=1,∠OBE=30°,
∴BE=
1
tan30°
=
3
,
∴AE=2+
3
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用,正確得出∠ABC的度數(shù)以及BC的長是解題關(guān)鍵.
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12
12

x -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 5 0 -3 -4 -3 0 5 12

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(2013•長寧區(qū)一模)計(jì)算:
tan45°
2
+sin45°-
3
•tan30°

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x
y
=
3
2
,則
2x+y
2y
=
2
2

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