Question

已知：如圖，正方形紙片ABCD的邊長是4，點(diǎn)M、N分別在兩邊AB和CD上（其中點(diǎn)N不與點(diǎn)C重合），沿直線MN折疊該紙片，點(diǎn)B恰好落在AD邊上點(diǎn)E處．

【小題1】（1）設(shè)AE＝x，四邊形AMND的面積為 S，求 S關(guān)于x 的函數(shù)解析式，并指明該函數(shù)的定義域；
【小題2】（2）當(dāng)AM為何值時(shí)，四邊形AMND的面積最大？最大值是多少？
【小題3】（3）點(diǎn)M能是AB邊上任意一點(diǎn)嗎？請(qǐng)求出AM的取值范圍．  

Answer 1

【小題1】⑴依題意，點(diǎn)B和E關(guān)于MN對(duì)稱，則ME=MB=4-AM.
再由AM²+AE²=ME²=(4-AM)²，得AM=2-.            ……………………1分
作MF⊥DN于F，則MF=AB，且∠BMF=90°.
∵M(jìn)N⊥BE，∴∠ABE= 90°-∠BMN.
又∵∠FMN =∠BMF -∠BMN=90°-∠BMN，
∴∠FMN=∠ABE.
∴Rt△FMN≌Rt△ABE.
∴FN=AE=x，DN=DF+FN=AM+x=2-+x.           ………………………2分
∴S=(AM+DN)×AD
=(2-+)×4
= -+2x+8.                               ……………………………3分
其中，0≤x＜4.  
【小題2】⑵∵S= -+2x+8= -(x-2)²+10,
∴當(dāng)x=2時(shí)，S_最大=10；            …………………………………………5分
此時(shí)，AM=2-×2²="1.5  "            ………………………………………6分
答：當(dāng)AM=1.5時(shí)，四邊形AMND的面積最大，為10
【小題3】⑶不能，0＜AM≤2.

解析