(2004•嘉興)如圖,Rt△OAB的斜邊OA在x軸的正半軸上,直角的頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi),已知點(diǎn)A(10,0),△OAB的面積為20.
(1)求B點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求過O、B、A三點(diǎn)拋物線的解析式;
(3)判斷該拋物線的頂點(diǎn)P與△OAB的外接圓的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)過B作BC⊥OA于C,根據(jù)三角形OAB的面積可求出BC=4,然后可設(shè)OC=x,根據(jù)射影定理可得出BC2=OC•AC,據(jù)此可求出x的值,即可得出B點(diǎn)坐標(biāo);
(2)已知了三點(diǎn)的坐標(biāo),可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(3)根據(jù)拋物線和圓的對(duì)稱性可知,P和三角形OAB的外心必在拋物線的對(duì)稱軸上,因此本題只需判斷P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值與OA的一半的大小關(guān)系,如果|yP|大于5,則頂點(diǎn)P在圓外,如果|yP|小于5,則在園內(nèi),如果等于5,則在圓上.
解答:解:(1)過B作BC⊥OA于C,
∵S△OAB=OA•BC=20,OA=10,
∴BC=4
在直角三角形ABO中,BC⊥OA,
設(shè)OC=x,根據(jù)射影定理有:
BC2=OC•AC,即16=x(10-x),解得x=2,x=8
因此B(2,4);

(2)設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x-10),
已知拋物線過B(2,4),有:
a×2×(2-10)=4,a=-
∴所求的拋物線解析式為:y=-x2+x;

(3)由(2)可知:y=-(x-5)2+
因此P(5,
>5
∴頂點(diǎn)P在外接圓外.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)、圓、直角三角形的相關(guān)知識(shí).
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(1)求B點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求過O、B、A三點(diǎn)拋物線的解析式;
(3)判斷該拋物線的頂點(diǎn)P與△OAB的外接圓的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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(1)問△PAO與△OAC有什么關(guān)系?證明你的結(jié)論;
(2)把整個(gè)圖形放在直角坐標(biāo)系中(如圖2),使OP與x軸重合,B點(diǎn)在y軸上.
設(shè)P(t,0),P點(diǎn)在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),四邊形PACO的形狀隨之變化,當(dāng)這圖形滿足什么條件時(shí),四邊形PACO是菱形?說(shuō)明理由.

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