Question

已知：如圖所示，E是AB延長線上的一點，AE=AC，AD平分∠BAC交BC于點D，BD=BE．
求證：∠ABC=2∠C．

Answer 1

證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
在△ADE和△ADC中，
∵AE=AC，∠1=∠2，AD=AD，
∴△ADE≌△ADC，
∴∠E=∠C，
∵BE=BD，
∴∠E=∠BDE，
∴∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E，
∴∠ABC=2∠C．
分析：由于AD是∠BAC的角平分線，因此∠1=∠2，結(jié)合AE=AC，AD=AD，利用SAS可證△AED≌△ACD，那么∠C=∠E，DC=DE，而BD=BE，于是BD=BE，那么∠BDE=∠BED，因此∠ABC=∠BDE+∠BED，即可得∠ABC=2∠BED，從而有∠ABC=2∠C．
點評：本題考查了角平分線定義、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊對等角、三角形外角性質(zhì)，求證2倍角的問題常常用外角及等角來解決．