Question

已知：△ABD和△CBD關(guān)于直線BD對稱(點A的對稱點是點C)，點E、F分別是線段BC和線段BD上的點，且點F在線段EC的垂直平分線上，連接AF、AE，AE交BD于點G．

（1）如圖l，求證：∠EAF=∠ABD；

（2）如圖2，當(dāng)AB=AD時，M是線段AG上一點，連接BM、ED、MF，MF的延長線交ED于點N，∠MBF= ∠BAF，AF=AD，試探究線段FM和FN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】解：（1）證明：如圖，連接FE、FC，

∵點F在線段EC的垂直平分線上，

∴FE=FC�！唷蟣=∠2。

∵△ABD和△CBD關(guān)于直線BD對稱，

∴AB=CB，∠4=∠3， BF=BF。

∴△ABF≌△CBF（SAS）。

∴∠BAF=∠2，F(xiàn)A=FC。

∴FE=FA，∠1=∠BAF�！唷�5=∠6 。

∵∠l+∠BEF=180⁰，∴∠BAF+∠BEF=180⁰。

∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360⁰，∴∠AFE+∠ABE=180⁰。

又∵∠AFE+∠5+∠6=180⁰，∴∠5+∠6=∠3+∠4。

∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD。

（2）FM=FN ，證明如下：

如圖，

由（1）可知∠EAF=∠ABD，

又∵∠AFB=∠GFA，∴△AFG∽△BFA。

∴∠AGF=∠BAF。

又∵∠MBF=∠BAF．∠MBF=∠AGF，

∠AGF=∠MBG+∠BMG，

∴∠MBG=∠BMG�！郆G=MG。

∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD=∠EAF。

∵∠FGA=∠AGD，∴△AGF∽△DGA�！�。

∵AF=AD，∴。

設(shè)GF="2a" ，AG=3a，則GD=a�！郌D=a。

∵∠CBD=∠ABD，∠ABD=∠ADB，∴∠CBD=∠ADB。∴BE∥AD。

∴�！�。

設(shè)EG=2k，∴BG=MG=3k。

過點F作FQ∥ED交AE于Q，

∴。∴。

∴GQ=EG=，MQ=3k+=�！�。

∵FQ∥ED，∴。∴FM=FN。

（1）連接FE、FC，先證△ABF、△CBF全等，得∠FEC=∠BAF，通過四邊形ABEF與三角形AEF內(nèi)角和導(dǎo)出。

（2）先由△AFG∽△BFA，推出∠AGF=∠BAF，再得BG=MG，通過△AGF∽△DGA，導(dǎo)出GD=a，F(xiàn)D=a，過點F作FQ∥ED交AE于Q，通過BE∥AD得線段成比例，設(shè)EG=2k，BG=MG=3k，GQ=EG=，MQ=3k+=，，從而FM=FN。