Question

已知，如圖，在△ADC中，∠ADC=90°，以DC為直徑作半圓⊙O，交邊AC于點(diǎn)F，點(diǎn)B在CD的延長(zhǎng)線上，連接BF，交AD于點(diǎn)E，∠BED=2∠C．
（1）求證：BF是⊙O的切線；
（2）若BF=FC，，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連接OF．
∵∠OFB=180°-∠B-∠BOF=180°-∠B-2∠C=180°-∠B-∠BED=90°，
∴OF⊥BF，
∴BF是⊙O的切線；

（2）解：∵∠BDE+∠B=3∠C，
∴∠B=∠C=30°，
∴易得△AEF是等邊三角形，則EF=AE=．
∴AD=2．
又∵∠C=30°，
∴CD=6，
∴⊙O的半徑是3．
分析：（1）欲證BF是圓O的切線，只需證明OF⊥BF；
（2）根據(jù)角與角間的數(shù)量關(guān)系推知△AEF的等邊三角形．所以易求AD=2．則通過(guò)解直角△ADC來(lái)求直徑CD的長(zhǎng)度．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理、切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．