【題目】矩形OABC在直角坐標系中的位置如圖所示,A、C兩點的坐標分別為A(10,0)、C(0,3),直線與BC相交于點D,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A、D兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)連接AD,試判斷△OAD的形狀,并說明理由.
(3)若點P是拋物線的對稱軸上的一個動點,對稱軸與OD、x軸分別交于點M、N,問:是否存在點P,使得以點P、O、M為頂點的三角形與△OAD相似?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=-x2+x.;(2)△OAD是直角三角形.(3)(5,0)或(5,-15)
【解析】
試題(1)根據(jù)題意可得出點D的縱坐標為3,代入直線解析式可得出點D的橫坐標,從而將點D和點A的坐標代入可得出拋物線的解析式.
(2)分別求出OA、OD、AD的長度,繼而根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷出△OAD是直角三角形.
(3)①由圖形可得當點P和點N重合時能滿足△OPM∽△ODA,②過點O作OD的垂線交對稱軸于點P′,此時也可滿足△P′OM∽△ODA,利用相似的性質(zhì)分別得出點P的坐標即可.
試題解析:(1)由題意得,點D的縱坐標為3,
∵點D在直線上,
∴點D的坐標為(9,3),
將點D(9,3)、點A(10,0)代入拋物線可得:
,
解得:
故拋物線的解析式為:y=-x2+x.
(2)∵點D坐標為(9,3),點A坐標為(10,0),
∴OA=10,OD=,AD=,
從而可得OA2=OD2+AD2,
故可判斷△OAD是直角三角形.
(3)①由圖形可得當點P和點N重合時能滿足△OPM∽△ODA,
此時∠POM=∠DOA,∠OPM=∠ODA,
故可得△OPM∽△ODA,OP=OA=5,
即可得此時點P的坐標為(5,0)
②過點O作OD的垂線交對稱軸于點P′,此時也可滿足△P′OM∽△ODA,
由題意可得,點M的橫坐標為5,代入直線方程可得點M的縱坐標為,
故可求得OM=
∵∠OP′M+∠OMN=∠DOA+∠OMN=90°,
∴∠OP′M=∠DOA,
∴△P′OM∽△ODA,
故可得,
即
解得:MP′=,
又∵點M的縱坐標=,
∴P′N==15,
即可得此時點P′的坐標為(5,-15)
綜上可得存在這樣的點P,點P的坐標為(5,0)或(5,-15)
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形中,,,,,,點在邊上,,點是射線上一個動點(不與點、重合),聯(lián)結(jié)交射線于點,設(shè),.
(1)求的長;
(2)當動點在線段上時,試求與之間的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;
(3)當動點運動時,直線與直線的夾角等于,請直接寫出這時線段的長.
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【題目】如圖,在△ABC 中,AB=AC,CD是∠ACB的平分線,DE∥BC,交AC于點 E.
(1)求證:DE=CE.
(2)若∠CDE=35°,求∠A 的度數(shù).
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【題目】在△ABC中,AB=AC
(1)求作一點P,使點P為△ABC的外接圓圓心.(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)若∠A=50°,求∠PBC的度數(shù).
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【題目】一次函數(shù)y=﹣2x﹣2分別與x軸、y軸交于點A、B.頂點為(1,4)的拋物線經(jīng)過點A.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點C為第一象限拋物線上一動點.設(shè)點C的橫坐標為m,△ABC的面積為S.當m為何值時,S的值最大,并求S的最大值;
(3)在(2)的結(jié)論下,若點M在y軸上,△ACM為直角三角形,請直接寫出點M的坐標.
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【題目】如圖,C是的一定點,D是弦AB上的一定點,P是弦CB上的一動點.連接DP,將線段PD繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到線段.射線與交于點Q.已知,設(shè)P,C兩點間的距離為xcm,P,D兩點間的距離,P,Q兩點的距離為.
小石根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,分別對函數(shù),,隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究,下面是小石的探究過程,請補充完整:
(1)按照下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量,分別得到了,,與x的幾組對應(yīng)值:
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
/cm | 4.29 | 3.33 | 1.65 | 1.22 | 1.50 | 2.24 | |
/cm | 0.88 | 2.84 | 3.57 | 4.04 | 4.17 | 3.20 | 0.98 |
(2)在同一平面直角坐標系xOy中,描出補全后的表中各組數(shù)據(jù)所對應(yīng)的點,,并畫出函數(shù),的圖象;
(3)結(jié)合函數(shù)圖象,解決問題:連接DQ,當△DPQ為等腰三角形時,PC的長度約為_____cm.(結(jié)果保留一位小數(shù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的對角線AC上有一點E,且CE=4AE,點F在DC的延長線上,連接EF,過點E作EG⊥EF,交CB的延長線于點G,連接GF并延長,交AC的延長線于點P,若AB=5,CF=2,則線段EP的長是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】良好的坐姿習(xí)慣有利于青少年骨骼生長,有利于身體健康,那么首先要有正確的寫字坐姿,身體上半部坐直,頭部端正、目視前方,兩手放在桌面上,兩腿平放,胸膛挺起,理想狀態(tài)下,如圖①,將圖①中的眼睛記為點,腹部記為點,筆尖記為點,且與桌面沿的交點記為點,已知,點到的距離為23cm, .
(1)求的度數(shù)
(2)老師發(fā)現(xiàn)小亮同學(xué)寫字姿勢不正確,眼睛傾斜到圖2的點,點恰好在的垂直平分線上,且,于是要求其糾正為正確的姿勢,求眼睛所在的位置上升的距離(結(jié)果精確到1cm)
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