Question

（2011•邯鄲一模）如圖是某種圓形裝置的示意圖，圓形裝置中，⊙O的直徑AB=5，AB的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，tan∠CAB=

4

3

．其運(yùn)動(dòng)過程是：點(diǎn)P在弧AB上滑動(dòng)，過點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長線交于點(diǎn)Q．
（1）當(dāng)PC=

5

時(shí)，CQ與⊙O相切；此時(shí)CQ=

20

3

．
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱時(shí)，求CQ的長；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求CQ的長．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)CQ為圓O的切線時(shí)，CQ為圓O的切線，此時(shí)CP為圓的直徑，由CQ垂直于直徑CP，得到CQ為切線，即可得到CP的長；由同弧所對(duì)的圓周角相等得到一對(duì)角相等，由已知角的正切值，在直角三角形CPQ中，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出CQ的長；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱時(shí)，如圖1所示，此時(shí)CP⊥AB于D，由AB為圓O的直徑，得到∠ACB為直角，在直角三角形ACB中，由tan∠CAB與AB的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出AC與BC的長，再由三角形ABC的面積由兩直角邊乘積的一半來求，也利用由斜邊乘以斜邊上的高CD的一半來求，求出CD的長，得到CP的長，同弧所對(duì)的圓周角相等得到一對(duì)角相等，由已知角的正切值，得到tan∠CPB的值，由CP的長即可求出CQ；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖2所示，過點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E，由P是弧AB的中點(diǎn)，得到∠PCB=45°，得到三角形EBC為等腰直角三角形，由CB的長，求出CE與BE的長，在直角三角形EBP中，由∠CPB=∠CAB，得到tan∠CPB=tan∠CAB，利用三角函數(shù)定義求出PE的長，由CP+PE求出CP的長，即可求出CQ的長．

解答：解：（1）當(dāng)CP過圓心O，即CP為圓O的直徑時(shí)，CQ與⊙O相切，理由為：
∵PC⊥CQ，PC為圓O的直徑，
∴CQ為圓O的切線，
此時(shí)PC=5；
∵∠CAB=∠CPQ，
∴tan∠CAB=tan∠CPQ=

4

3

，
∴tan∠CPQ=

CQ

CP

=

CQ

5

=

4

3

，
則CQ=

20

3

；
故答案為：5；

20

3

；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱時(shí)，如圖1所示，此時(shí)CP⊥AB于D，

又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，
∵AB=5，tan∠CAB=

4

3

，
∴BC=4，AC=3，
又∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CD，
∴AC•BC=AB•CD，即3×4=5CD，
∴CD=

12

5

，
∴PC=2CD=

24

5

，
在Rt△PCQ中，∠PCQ=90°，∠CPQ=∠CAB，
∴CQ=PCtan∠CPQ=

4

3

PC，
∴CQ=

4

3

×

24

5

=

32

5

；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖2所示，過點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E，

∵P是弧AB的中點(diǎn)，∠PCB=45°，
∴CE=BE=2

2

，
又∠CPB=∠CAB，
∴tan∠CPB=tan∠CAB=

BE

PE

=

4

3

，
∴PE=

BE

tan∠CPB

=

3

4

BE=

3 2

2

，
∴PC=CE+PE=2

2

+

3 2

2

=

7 2

2

，
由（2）得，CQ=

4

3

PC=

14 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．