Question

古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，例如：
他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)，其中第n個(gè)圖中用去了個(gè)石子；類似地，稱圖2中的1，4，9，16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)，其中第m個(gè)圖中用去了m²個(gè)石子．
請(qǐng)問：下列哪些數(shù)既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)________．
289 1024 1225　 1378．

Answer 1

1225
分析：根據(jù)圖1中第n個(gè)圖中用去了個(gè)石子，圖2中第m個(gè)圖中用去了m²個(gè)石子，然后把下列數(shù)分別代入，若解出的n和m都是正整數(shù)，則說明符合條件就是所求．
解答：289雖然是平方數(shù)，但令 =289，解得的n值顯然不是整數(shù)，不符合條件；
1024是平方數(shù)，但令 =1024，解得的n值顯然不是整數(shù)，不符合條件；
令 =1225，解得n₁=49，n₂=-50（不合題意，舍去）；再令m²=1225，m₁=35，m₂=-35（不合題意，舍去），故1225即是三角形數(shù)又是正方形數(shù)．
顯然1378不是平方數(shù)，不符合條件．
故答案為：1225．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了規(guī)律型中的圖形變化問題，本題是規(guī)律已經(jīng)給出，學(xué)生通過特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論．