Question

如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=125°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分別找一點(diǎn)M、N，使得△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠AMN+∠ANM的度數(shù)為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題

專題：

分析：取點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)P，關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接PQ與BC相交于點(diǎn)M，與DE相交于點(diǎn)N，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AM=PM，AN=QN，然后求出△AMN周長(zhǎng)=PQ，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，PQ的長(zhǎng)度即為△AMN的周長(zhǎng)最小值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠P+∠Q，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠AMN=2∠P，∠ANM=2∠Q，然后求解即可．

解答：解：如圖，取點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)P，關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接PQ與BC相交于點(diǎn)M，與DE相交于點(diǎn)N，
則AM=PM，AN=QN，
所以，∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN，
所以，△AMN周長(zhǎng)=AM+MN+AN=PM+MN+QN=PQ，
由軸對(duì)稱確定最短路線，PQ的長(zhǎng)度即為△AMN的周長(zhǎng)最小值，
∵∠BAE=125°，
∴∠P+∠Q=180°-125°=55°，
∵∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P，∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠P+∠Q）=2×55°=110°．
故答案為：110°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，確定出點(diǎn)M、N的位置是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．