解:(1)E(6,0),F(xiàn)(2,4
),EF所在直線的解析式為y=-
x+6
.
(2)梯形OEFG的面積為
(2+6)•4
,
∵點(diǎn)A(a,b)在直線EF上,
∴A(a,-
a+6
,
由題意得
,
若S的值為
,則
,
,
即a
2-6a+5=0,∴a
1=1,a
2=5,
又a
1=1不合題意,舍去,取a=5;
∴當(dāng)a=5時(shí),S的值恰好等于梯形OEFG的面積的
.
(3)顯然,滿足條件的等腰△PAM的頂角應(yīng)為120°,分下列三種情況考慮:
①當(dāng)∠PAM為頂角時(shí)(如圖1),設(shè)AB交y軸于點(diǎn)Q,OM=x,
∵點(diǎn)A在直線y=-
x+6
上,∴AM=-
x+6
,
在Rt△PQA中,∠PAQ=120°-90°=30°,
∴PQ=
AP=
AM;
∴OP=OQ+QP=
AM=
(-
x+6
),
在Rt△POM中,∠PMO=90°-30°=60°,
∴OP=OM•tan∠PMO=
x;
∴
(-
x+6
)=
x,x=
.
②當(dāng)∠PMA為頂角時(shí),畫圖可知合條件的點(diǎn)P
2在y軸的負(fù)半軸上;
Rt△P
2OM中,∠P
2MO=120°-90°=30°,且OM仍為
;
∴
,
即
;
③當(dāng)∠APM為頂角時(shí)(如圖2)過點(diǎn)P
3作P
3N⊥AM于點(diǎn)M,
設(shè)OM=x,在Rt△P
3OM中,∠P
3MO=90°-30°=60°,
∴
,
∴
,
∴
,x=2,
此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為
,即點(diǎn)A與點(diǎn)F重合,∴
,即
,
由①,②,③得,滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為
.
分析:(1)根據(jù)E(6,0),F(xiàn)(2,4
),利用待定系數(shù)法可求得EF所在直線的解析式;
(2)根據(jù)梯形OEFG的面積為
(2+6)•4
,A(a,-
a+6
,
由題意得
,
若S的值為
,則可得a
2-6a+5=0,所以a
1=1,a
2=5,又a
1=1不合題意,舍去,取a=5,
可求得當(dāng)a=5時(shí),S的值恰好等于梯形OEFG的面積的
;
(3)滿足條件的等腰△PAM的頂角應(yīng)為120°,分下列三種情況考慮:
①當(dāng)∠PAM為頂角時(shí)(如圖1),設(shè)AB交y軸于點(diǎn)Q,OM=x,利用Rt△PQA,Rt△POM中的有關(guān)角和線段可求得P
1(0,
);
②當(dāng)∠PMA為頂角時(shí),畫圖可知合條件的點(diǎn)P
2在y軸的負(fù)半軸上,可求
;
③當(dāng)∠APM為頂角時(shí)(如圖2)過點(diǎn)P
3作P
3N⊥AM于點(diǎn)M,點(diǎn)A與點(diǎn)F重合,即
,所以滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為
.
點(diǎn)評(píng):主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用.解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度,再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解.