如圖,直角梯形ABCD的腰BC所在直線的解析式為y=-數(shù)學(xué)公式x-6數(shù)學(xué)公式,點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-4數(shù)學(xué)公式),將直角梯形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,得到直角梯形OEFG(如圖1).
(1)直接寫出E,F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直角梯形OEFG的腰EF所在直線的解析式;
(2)將圖1中的直角梯形ABCD先沿x軸向右平移到點(diǎn)A與點(diǎn)E重合的位置,再讓直角頂點(diǎn)A緊貼著EF,向上平移直角梯形ABCD(即梯形ABCD向上移動(dòng)時(shí),總保持著AB∥FG),當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)F重合時(shí),梯形ABCD停止移動(dòng).觀察得知:在梯形ABCD移動(dòng)過程中,其腰BC始終經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.(如圖2)
①設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b),梯形ABCD與梯形OEFG重合部分的面積為S,試求a與何值時(shí),S的值恰好等于梯形OEFG面積的數(shù)學(xué)公式;
②當(dāng)點(diǎn)A在EF上滑動(dòng)時(shí),設(shè)AD與x軸的交點(diǎn)為M,試問:在y軸上是否存在點(diǎn)P,使得△PAM是底角為30°的等腰三角形?如果存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.(利用圖3進(jìn)行探索)

解:(1)E(6,0),F(xiàn)(2,4),EF所在直線的解析式為y=-x+6

(2)梯形OEFG的面積為(2+6)•4,
∵點(diǎn)A(a,b)在直線EF上,
∴A(a,-a+6,
由題意得,
若S的值為,則,

即a2-6a+5=0,∴a1=1,a2=5,
又a1=1不合題意,舍去,取a=5;
∴當(dāng)a=5時(shí),S的值恰好等于梯形OEFG的面積的

(3)顯然,滿足條件的等腰△PAM的頂角應(yīng)為120°,分下列三種情況考慮:
①當(dāng)∠PAM為頂角時(shí)(如圖1),設(shè)AB交y軸于點(diǎn)Q,OM=x,
∵點(diǎn)A在直線y=-x+6上,∴AM=-x+6
在Rt△PQA中,∠PAQ=120°-90°=30°,
∴PQ=AP=AM;
∴OP=OQ+QP=AM=(-x+6),
在Rt△POM中,∠PMO=90°-30°=60°,
∴OP=OM•tan∠PMO=x;
(-x+6)=x,x=
②當(dāng)∠PMA為頂角時(shí),畫圖可知合條件的點(diǎn)P2在y軸的負(fù)半軸上;
Rt△P2OM中,∠P2MO=120°-90°=30°,且OM仍為;
,

③當(dāng)∠APM為頂角時(shí)(如圖2)過點(diǎn)P3作P3N⊥AM于點(diǎn)M,
設(shè)OM=x,在Rt△P3OM中,∠P3MO=90°-30°=60°,
,
,
,x=2,
此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為,即點(diǎn)A與點(diǎn)F重合,∴,即,
由①,②,③得,滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為
分析:(1)根據(jù)E(6,0),F(xiàn)(2,4),利用待定系數(shù)法可求得EF所在直線的解析式;
(2)根據(jù)梯形OEFG的面積為(2+6)•4,A(a,-a+6,
由題意得
若S的值為,則可得a2-6a+5=0,所以a1=1,a2=5,又a1=1不合題意,舍去,取a=5,
可求得當(dāng)a=5時(shí),S的值恰好等于梯形OEFG的面積的;
(3)滿足條件的等腰△PAM的頂角應(yīng)為120°,分下列三種情況考慮:
①當(dāng)∠PAM為頂角時(shí)(如圖1),設(shè)AB交y軸于點(diǎn)Q,OM=x,利用Rt△PQA,Rt△POM中的有關(guān)角和線段可求得P1(0,);
②當(dāng)∠PMA為頂角時(shí),畫圖可知合條件的點(diǎn)P2在y軸的負(fù)半軸上,可求
③當(dāng)∠APM為頂角時(shí)(如圖2)過點(diǎn)P3作P3N⊥AM于點(diǎn)M,點(diǎn)A與點(diǎn)F重合,即,所以滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為
點(diǎn)評(píng):主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用.解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度,再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn),AE=BC,DE⊥EC,取DC的中點(diǎn)F,連接AF、BF.
(1)求證:AD=BE;
(2)試判斷△ABF的形狀,并說明理由.

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如圖,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AB∥CD,AB=AD,∠ABC=60度.以AD為邊在直角梯形精英家教網(wǎng)ABCD外作等邊三角形ADF,點(diǎn)E是直角梯形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且∠EAD=∠EDA=15°,連接EB、EF.
(1)求證:EB=EF;
(2)延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)G,點(diǎn)G恰好是BC的中點(diǎn),若AB=6,求BC的長(zhǎng).

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精英家教網(wǎng)如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,且CD=2AD,tan∠ABC=2.
(1)求證:BC=CD;
(2)在邊AB上找點(diǎn)E,連接CE,將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF.連接EF,如果EF∥BC,試畫出符合條件的大致圖形,并求出AE:EB的值.

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(2013•深圳二模)如圖,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AB∥CD,AB=AD,∠ABC=60°.以AD為邊在直角梯形ABCD外作等邊三角形ADF,點(diǎn)E是直角梯形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且∠EAD=∠EDA=15°,連接EB、EF.
(1)求證:EB=EF;
(2)若EF=6,求梯形ABCD的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,以AB為直徑的⊙O切DC邊于E點(diǎn),AD=3cm,BC=5cm.求⊙O的面積.

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