【題目】九年級(jí)某班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查整理出某種商品在第x天(1≤x≤90,且x為整數(shù))的售價(jià)與銷售量的相關(guān)信息如下.已知商品的進(jìn)價(jià)為30元/件,設(shè)該商品的售價(jià)為y(單位:元/件),每天的銷售量為p(單位:件),每天的銷售利潤(rùn)為w(單位:元).
時(shí)間x(天) | 1 | 30 | 60 | 90 |
每天銷售量p(件) | 198 | 140 | 80 | 20 |
(1)求出w與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)問(wèn)銷售該商品第幾天時(shí),當(dāng)天的銷售利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn);
(3)該商品在銷售過(guò)程中,共有多少天每天的銷售利潤(rùn)不低于5600元?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果.
【答案】(1)w=;(2)銷售第45天時(shí),當(dāng)天獲得的銷售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是6050元;(3)該商品在銷售過(guò)程中,共有24天每天的銷售利潤(rùn)不低于5600元.
【解析】試題分析:(1)當(dāng)1≤x≤50時(shí),設(shè)商品的售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,由點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出此時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)圖形可得出當(dāng)50≤x≤90時(shí),y=90.再結(jié)合給定表格,設(shè)每天的銷售量p與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n,套入數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法即可求出p關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)銷售利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售數(shù)量即可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)根據(jù)w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,分段考慮其最值問(wèn)題.當(dāng)1≤x≤50時(shí),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi)w的最大值;當(dāng)50≤x≤90時(shí),根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi)w的最大值,兩個(gè)最大值作比較即可得出結(jié)論;
(3)令w≥5600,可得出關(guān)于x的一元二次不等式和一元一次不等式,解不等式即可得出x的取值范圍,由此即可得出結(jié)論.
試題解析:(1)當(dāng)1≤x≤50時(shí),設(shè)商品的售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k、b為常數(shù)且k≠0),
∵y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,40)、(50,90),
∴,解得,
∴售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=x+40;
當(dāng)50≤x≤90時(shí),y=90.
∴售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=.
由數(shù)據(jù)可知每天的銷售量p與時(shí)間x成一次函數(shù)關(guān)系,
設(shè)每天的銷售量p與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n(m、n為常數(shù),且m≠0),
∵p=mx+n過(guò)點(diǎn)(60,80)、(30,140),
∴,解得: ,
∴p=﹣2x+200(0≤x≤90,且x為整數(shù)),
當(dāng)1≤x≤50時(shí),w=(y﹣30)p=(x +40﹣30)(﹣2 x +200)=﹣2 x 2+180 x +2000;
當(dāng)50≤x≤90時(shí),w=(90﹣30)(﹣2 x +200)=﹣120 x +12000.
綜上所示,每天的銷售利潤(rùn)w與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式是w= .
(2)當(dāng)1≤x≤50時(shí),w=﹣2 x 2+180 x +2000=﹣2(x﹣45)2+6050,
∵a=﹣2<0且1≤x≤50,
∴當(dāng)x =45時(shí),w取最大值,最大值為6050元.
當(dāng)50≤x≤90時(shí),w=﹣120 x +12000,
∵k=﹣120<0,w隨x增大而減小,
∴當(dāng)x =50時(shí),w取最大值,最大值為6000元.
∵6050>6000,
∴當(dāng)x =45時(shí),w最大,最大值為6050元.
即銷售第45天時(shí),當(dāng)天獲得的銷售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是6050元.
(3)當(dāng)1≤x≤50時(shí),令w=﹣2x2+180x+2000≥5600,即﹣2x2+180x﹣3600≥0,
解得:30≤x≤50,
50﹣30+1=21(天);
當(dāng)50≤x≤90時(shí),令w=﹣120 x +12000≥5600,即﹣120 x +6400≥0,
解得:50≤x≤53,
∵x為整數(shù),
∴50≤x≤53,
53﹣50+1=4(天).
綜上可知:21+4﹣1=24(天),
故該商品在銷售過(guò)程中,共有24天每天的銷售利潤(rùn)不低于5600元.
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獲獎(jiǎng)等次 | 頻數(shù) | 頻率 |
一等獎(jiǎng) | 10 | 0.05 |
二等獎(jiǎng) | 20 | 0.10 |
三等獎(jiǎng) | 30 | b |
優(yōu)勝獎(jiǎng) | a | 0.30 |
鼓勵(lì)獎(jiǎng) | 80 | 0.40 |
請(qǐng)根據(jù)所給信息,解答下列問(wèn)題:
(1)a= ,b= ,且補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(2)若用扇形統(tǒng)計(jì)圖來(lái)描述獲獎(jiǎng)分布情況,問(wèn)獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是多少?
(3)在這次競(jìng)賽中,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都獲得一等獎(jiǎng),若從這四位同學(xué)中隨機(jī)選取兩位同學(xué)代表我市參加上一級(jí)競(jìng)賽,請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法,計(jì)算恰好選中甲、乙二人的概率.
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