Question

如圖，直角梯形OABC中，∠COA=90°，BC∥OA，OA=6，BC=3，AB=3

5

，已知拋物線經(jīng)過(guò)O、A、B三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）平行與y軸的直線l從點(diǎn)O向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．直線l交折線段OBA于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E．問(wèn)：當(dāng)t為何值時(shí)，線段DE有最大值？最大值是多少？
（3）探索：坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)F，使得以C、B、D、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)B作BK⊥OA，由直角梯形OABC中，∠COA=90°，BC∥OA，OA=6，BC=3，AB=3

5

，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）首先利用待定系數(shù)法求得直線OB與AB的解析式，再分別從當(dāng)點(diǎn)D在OB上時(shí)與當(dāng)點(diǎn)D在AB上時(shí)去分析，即可求得答案；
（3）由菱形的性質(zhì)，分別從以CD，BD，BC為對(duì)角線去分析即可求得答案．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BK⊥OA，
∵直角梯形OABC中，∠COA=90°，BC∥OA，OA=6，BC=3，AB=3

5

，
∴OK=BC=3，
∴AK=OA-OK=6-3=3，
在Rt∧ABK中：BK=

AB2-AK2

=6，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，6），
∵拋物線過(guò)點(diǎn)O，
∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx，
∴

36a+6b=0 9a+3b=6

，
解得：

a=- 2 3 b=4

，
∴拋物線的解析式為：y=-

2

3

x2+4x；

（2）設(shè)直線OB的解析式為：y=mx，
∴3m=6，
∴m=2，
∴直線OB的解析式為：y=2x；
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
∴

6k+b=0 3k+b=6

，
解得：

k=-2 b=12

，
∴直線AB的解析式為：y=-2x+12，
當(dāng)點(diǎn)D在OB上時(shí)，
DE=-

2

3

x²+4x-2x=-

2

3

x²+2x=-

2

3

（x-

3

2

）²+

3

2

，
∴當(dāng)t=

3

2

時(shí)，DE的最大值是

3

2

，
當(dāng)點(diǎn)D在AB上時(shí)，
DE=-

2

3

x²+4x+2x-12=-

2

3

x²+6x-12=-

2

3

（x-

9

2

）²+

3

2

，
∴當(dāng)t=

9

2

時(shí)，DE的最大值是

3

2

，
∴t為

3

2

或

9

2

時(shí)，DE的最大值是

3

2

；

（3）存在：當(dāng)D點(diǎn)在OB上時(shí)，以CD，BD，BC為對(duì)角線作出來(lái)圖形，可得到三個(gè)菱形；當(dāng)D點(diǎn)在OA上時(shí)，還可以得到一個(gè)菱形，得出：F₁（-

3

5

5

，6-

6

5

5

）；F₂（

3

2

，9）；F₃（

24

5

，

18

5

）；F₄（

3

5

5

，6-

6

5

5

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及菱形的性質(zhì)等知識(shí)．題目綜合性很強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．