(1998•寧波)正方形ABCD的邊AB是⊙O的弦,CF切⊙O于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,且切點(diǎn)E在正方形的內(nèi)部,AE,BE的長是方程x2-3x+m=0兩個(gè)實(shí)根.
(1)當(dāng)AB是⊙O的直徑時(shí)(如圖),
①用含m的代數(shù)式表示AB的長;
②求m的值和AF的長;
(2)當(dāng)AB不是⊙O的直徑時(shí),△ABE能否與以B、C、E為頂點(diǎn)的三角形相似?請說明理由,若相似,求AE+AB的長.

【答案】分析:(1)①根據(jù)圓周角定理知∠AEB=90°,則△ABE是直角三角形,利用韋達(dá)定理及勾股定理即可得到AB的表達(dá)式;
②連接OC,交BE于M,由切線長定理知∠ECO=∠BCO,即∠EOC=∠BOC,那么由垂徑定理即可得到OC垂直平分BE;由于AB=BC,易證得△BMC≌△AEB,則BE=CM=2BM,由此可得到BM、OM、MC的比例關(guān)系式,由于OM=AE(三角形中位線定理),根據(jù)AE+BE的值,即可求得OM、MC的長,從而得到AE、BE的值,也就能求出m的值和AB的長;
連接OF,交AE于N,同上可證得OF垂直平分AE,則ON是△ABE的中位線,那么∠AOF和∠ABE的正切值相等,已知了OA的長,即可得到AF的長.
(2)由于CE切⊙O于E,由弦切角定理知∠CEB=∠EAB,由于E在正方形內(nèi)部,即AE不與BC平行,所以∠AEB與∠EBC不相等,若兩三角形相似,只有∠AEB=∠ECB,可得BE2=AB•BC=AB2,即BE與正方形的邊長相等,因此兩個(gè)三角形有可能相似,且此時(shí)AE+AB=AE+BE=3.
解答:解:(1)①根據(jù)題意,有AE,BE的長是方程x2-3x+m=0兩個(gè)實(shí)根,
則AE+BE=3,AE•BE=m;
又有AB是⊙O的直徑,可得AB2=AE2+BE2,
化簡可得:AB2=(AE+BE)2-2AE•BE=9-2m,
故AB=;
②連接OC、OF,分別交BE、AE于M、N,連接OE;
∵CE、CB都是⊙O的切線,
∴∠ECO=∠BCO,∠OEC=∠OBC=90°,
∴∠EOC=∠BOC,
∴OM垂直平分BE,即OM⊥BE、EM=BM,
又∵O是AB的中點(diǎn),∴OM是△ABE的中位線,即AE=2OM;
△ABE和△BMC中:
AB=BC,∠AEB=∠BMC=90°,∠CBM=∠EAB(弦切角定理),
∴△AEB≌△BMC,即MC=BE=2BM=4OM;
設(shè)OM=x,則AE=BM=2x,BE=MC=4x,
∵AE+BE=3,即2x+4x=3,故x=,
∴AE=1,BE=2,m=AE•E=2,AB=
同理可證得ON是△ABE的中位線,則ON∥BE,∠AOF=∠ABE,
∴tan∠AOF=tan∠ABE=,即AF=OA=AB=

(2)由于CF切⊙O于E,則∠CEB=∠EAB;
∵點(diǎn)E在正方形ABCD的內(nèi)部,
∴AE、BC不平行,即∠AEB≠∠CBE;
若△ABE能否與以B、C、E為頂點(diǎn)的三角形相似,
則必有∠AEB=∠ECB,此時(shí):
,即BE2=AB2,BE=AB;
所以△ABE可以與以B、C、E為頂點(diǎn)的三角形相似,此時(shí)BE等于正方形的邊長;
那么AE+AB=AE+BE=3.
點(diǎn)評:此題考查了正方形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、弦切角定理、垂徑定理、三角形中位線定理以及全等三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識點(diǎn),理清圖中線段、角之間的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.
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