Question

【題目】如圖1，直線l：y=x+與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸分別相交于A、C兩點(diǎn)，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B（1，0）和點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點(diǎn)Q是拋物線y=﹣x2+bx+c在第二象限內(nèi)的一個動點(diǎn)．

①如圖1，連接AQ、CQ，設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為t，△AQC的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；

②連接BQ交AC于點(diǎn)D，連接BC，以BD為直徑作⊙I，分別交BC、AB于點(diǎn)E、F，連接EF，求線段EF的最小值，并直接寫出此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+；（2）①S=﹣t2﹣t（﹣3＜t＜0）,；②EF=，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣3，4﹣）．

【解析】

試題（1）根據(jù)直線的解析式得到點(diǎn)把點(diǎn)B(1,0)與點(diǎn)代入于是得到結(jié)論；
（2）①連接OQ,在直線中,令y=0,則得到點(diǎn)根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
②解直角三角形得到作直徑ET交⊙I于點(diǎn)T,連接FT,則

得到當(dāng)BD⊥AC時，此時直徑BD最小，即直徑ET最小，EF的值最小，推出在Rt△ADB中，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

試題解析：(1)在直線中,令x=0,則

∴點(diǎn)

把點(diǎn)B(1,0)與點(diǎn)代入得：

解得：

∴拋物線的解析式為：

(2)①連接OQ,在直線中,令y=0,則

∴點(diǎn)

即

∴當(dāng)時,S最大值

②∵點(diǎn)B(1,0),

在Rt△BOC中,

作直徑ET交⊙I于點(diǎn)T,連接FT,則

又

當(dāng)BD⊥AC時，此時直徑BD最小，即直徑ET最小，EF的值最小，

在Rt△AOC中,

在Rt△ADB中，

此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為