Question

如圖，在?ABCD中，BE⊥AD于點(diǎn)E，BF⊥CD于點(diǎn)F，AC與BE、BF分別交于點(diǎn)G、H．
（1）求證：△BAE∽△BCF；
（2）若BG=BH，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

證明：
（1）∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA=∠BFC=90°．
又ABCD是平行四邊形，
∴∠BAE=∠BCF．
∴△BAE∽△BCF．

（2）∵△BAE∽△BCF，
∴∠1=∠2．
又BG=BH，
∴∠3=∠4．
∴∠BGA=∠BHC，BG=BH．
∴△BGA≌△BHC（ASA）．
∴AB=BC．
∴?ABCD為菱形．
分析：（1）先利用已知里的兩個(gè)垂直，可證一對(duì)角相等，都等于90°，再利用平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)角相等，那么可證△BAE∽△BCF；（2）由BG=BH，可得∠3=∠4，那么∠AGE=∠CHF，利用等量減等量差相等，可證∠DAC=∠DCA，等角對(duì)等邊，那么AD=DC，那么?是菱形．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定等知識(shí)．