Question

（2009•內(nèi)江）如圖所示，已知點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（0，t），且t＞0，tan∠BAC=3，拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)P（2，m）是拋物線與直線l：y=k（x+1）的一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）對(duì)于動(dòng)點(diǎn)Q（1，m），求PQ+QB的最小值；
（3）若動(dòng)點(diǎn)M在直線l上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，求△AMP的邊AP上的高h(yuǎn)的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意可知tan∠BAC=3，所以可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以可求得m的值，即可求得直線l的解析式，根據(jù)題意可得點(diǎn)Q在直線x=1上，可知點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，有兩點(diǎn)間線段最短可知直線AP與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)即是點(diǎn)Q；求得AP的值即可；
（3）可首先求得△APM的最大值，利用圖形面積的拼湊方法即可求得，再根據(jù)面積公式求得h的最大值即可．
解答：解：（1）∵tan∠BAC=3，
∴==3，
∴OC=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∴t=3，
將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式得：，
解得：，
∴此拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）∵點(diǎn)P（2，m）在拋物線上，
∴m=3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），
∴3=3k，
∴k=1，
∴直線l的解析式為y=x+1，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴此函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1，
∴點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，
∴點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，
∴設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b，
∴，
∴，
∴直線AP的解析式為y=x+1，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，2），
∴PQ+QB=PA==3；

（3）過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)M作MK⊥x軸于點(diǎn)K，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3），
∴S_△APM=S_△AKM+S_梯形PNKM-S_△PNA，
=（1+x）（-x²+2x+3）+（-x²+2x+3+3）（2-x）-×3×3，
=-（x²-x-2），
=-（x-）²+，
∴△APM的最大值為，
∵AP的長(zhǎng)度不變，
∴△AMP的邊AP上的高h(yuǎn)的最大值為．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意待定系數(shù)法球函數(shù)的解析式，還要注意利用二次函數(shù)求最大值，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．