Question

如圖，拋物線y=x²-4x-1頂點(diǎn)為D，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求這條拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）經(jīng)過點(diǎn)（0，4）且與x軸平行的直線與拋物線y=x²-4x-1相交于M、N兩點(diǎn)（M在N的左側(cè)），以MN為直徑作⊙P，過點(diǎn)D作⊙P的切線，切點(diǎn)為E，求點(diǎn)DE的長(zhǎng)；
（3）上下平移（2）中的直線MN，以MN為直徑的⊙P能否與x軸相切？如果能夠，求出⊙P的半徑；如果不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用配方法即可將函數(shù)解析式變形為：y=（x-2）²-5，由頂點(diǎn)式即可求得這條拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）由經(jīng)過點(diǎn)（0，4）且與x軸平行的直線與拋物線y=x²-4x-1相交于M、N兩點(diǎn)（M在N的左側(cè)），即可求得M與N的坐標(biāo)，即可求得P的坐標(biāo)，然后即可求得PE與PD的長(zhǎng)，根據(jù)切線的性質(zhì)，由勾股定理即可求得DE的長(zhǎng)；
（3）根據(jù)已知，可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，又由以MN為直徑的⊙P與x軸相切，可得拋物線過點(diǎn)（2+r，r）或（2+r，-r），將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式即可求得r的值，則可證得以MN為直徑的⊙P能與x軸相切．

解答：解：（1）∵y=x²-4x-1=x²-4x+4-5=（x-2）²-5，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-5）；

（2）∵當(dāng)y=4時(shí)，x²-4x-1=4，
解得x=-1或x=5，
∴M坐標(biāo)為（-1，4），點(diǎn)N坐標(biāo)為（5，4），
∴MN=6．P的半徑為3，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4），
連接PE，則PE⊥DE，
∵PD=9，PE=3，
根據(jù)勾股定理得DE=6

2

；

（3）能夠相切．
理由：設(shè)⊙P的半徑為r，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，拋物線過點(diǎn)（2+r，r）或（2+r，-r），
代入拋物線解析式得：（2+r）²-4（2+r）-1=r，
解得r=

21 +1

2

或r=

1- 21

2

（舍去）．
把（2+r，-r）代入拋物線得：（2+r）²-4（2+r）-1=-r，
解得：r=

-1+ 21

2

，或r=

-1- 21

2

（舍去）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的一般式與頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)化，還考查了圓的切線的性質(zhì)等知識(shí)，是二次函數(shù)的綜合題型．此題綜合性很強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．