Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA＝5，OC＝4．

(1)如圖①，將矩形沿對(duì)角線OB折疊，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，OD與CB相交于點(diǎn)E，請(qǐng)問重疊部分△OBE是什么三角形？說明你的理由：并求出這個(gè)三角形的面積；

(2)如圖②，點(diǎn)E、F分別是OC、OA邊上的點(diǎn)，將△OEF沿EF折疊，使得點(diǎn)O正好落在BC邊上的D點(diǎn)，過點(diǎn)D作DH⊥OA，交EF于點(diǎn)G，交OA于點(diǎn)H，若CD＝2，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(3)如圖③，照(2)中條件，當(dāng)點(diǎn)E、F在OC、OA上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也在邊BC上隨之移動(dòng)，請(qǐng)直接寫出BD的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）是等腰三角形，理由見解析；；（2）；（3）1≤BD≤3

【解析】

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，得出，，進(jìn)而得到是等腰三角形，再利用勾股定理求出EB的長，進(jìn)而求面積即可；

（2）易得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為2，根據(jù)折疊的性質(zhì)和DH⊥OA，得出，再在中利用勾股定理求出DG的長即可得到點(diǎn)G的縱坐標(biāo)；

（3）分兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A重合時(shí)，分別求出BD的值，即可得到BD的取值范圍．

（1）是等腰三角形，理由如下：

如下圖，

圖形折疊

矩形

即

是等腰三角形

設(shè)，則

在中，

求得

（2）如下圖，

∵圖形折疊

，是等腰三角形

設(shè)，則

在中

，求得

即

（3）①當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)，如下圖：

此時(shí)，CD=OC=4，則BD=BC-CD=1；

②當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A重合時(shí)，如下圖：

此時(shí)，AD=OA=5，在Rt△ABD中，BD===3，

∴BD的取值范圍為1≤BD≤3.