Question

【題目】如圖，已知銳角△ABC中，AB、AC邊的中垂線交于點O

（1）若∠A=α（0°＜α＜90°），求∠BOC；

（2）試判斷∠ABO+∠ACB是否為定值；若是，求出定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2α；（2）是定值

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AO=BO=CO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，根據(jù)周角定義即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OBC=∠OCB，于是得到∠OBC=90°﹣α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．

解：（1）AB、AC邊的中垂線交于點O，

∴AO=BO=CO，

∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，

∴∠AOB+∠AOC=（180°﹣∠OAB﹣∠OBA）+（180°﹣∠OAC﹣∠OCA），

∴∠AOB+∠AOC=（180°﹣2∠OAB）+（180°﹣2∠OAC）=360°﹣2（∠OAB+∠OAC）=360°﹣2∠A=360°﹣2α，

∴∠BOC=360°﹣（∠AOB+∠AOC）=2α；

（2）∠ABO+∠ACB為定值，

∵BO=CO，

∴∠OBC=∠OCB，

∵∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，

∴∠OBC=（180°﹣2∠A）=90°﹣α，

∵∠ABO+∠ACB+∠OBC+∠A=180°，

∴∠ABO+∠ACB=180°﹣α﹣（90°﹣α）=90°．