Question

如圖，△ABC是等邊三角形，點D、E分別在BC、AC上，且BD=BC，CE=AC，BE、AD相交于點F，連接DE，則下列結論：①∠AFE=60°；②DE⊥AC；③CE²=DF•DA；④AF•BE=AE•AC，正確的結論有（ ）

A．4個
B．3個
C．2個
D．1個

Answer 1

【答案】分析：本題是開放題，對結論進行一一論證，從而得到答案．
①利用△ABD≌△BCE，再用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和，即可證∠AFE=60°；
②從CD上截取CM=CE，連接EM，證△CEM是等邊三角形，可證明DE⊥AC；
③△BDF∽△ADB，由相似比則可得到CE²=DF•DA；
④只要證明了△AFE∽△BAE，即可推斷出AF•BE=AE•AC．
解答：解：∵△ABC是等邊三角形
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°
∵BD=BC，CE=AC
∴BD=EC
∴△ABD≌△BCE
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBD=60°
∴∠ABE+∠CBE=60°
∵∠AFE是△ABF的外角
∴∠AFE=60°
∴①是對的；
如圖，從CD上截取CM=CE，連接EM，則△CEM是等邊三角形
∴EM=CM=EC
∵EC=CD
∴EM=CM=DM
∴∠CED=90°
∴DE⊥AC，
∴②是對的；
由前面的推斷知△BDF∽△ADB
∴BD：AD=DF：DB
∴BD²=DF•DA
∴CE²=DF•DA
∴③是對的；
在△AFE和△BAE中，∠BAE=∠AFE=60°，∠AEB是公共角
∴△AFE∽△BAE
∴AF•BE=AE•AC
∴④是正確的．
故選A．
點評：本題主要應用到了三角形外角與內角的關系，直角三角形的判定，全等三角形和相似三角形的判定及性質，內容較多，較為復雜．