【題目】在平面直角坐標系中,平行四邊形ABOC如圖放置,點A、C的坐標分別是(0,4)、(﹣1,0),將此平行四邊形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到平行四邊形ABOC′.

(1)若拋物線經(jīng)過點C、A、A,求此拋物線的解析式;

(2)點M時第一象限內(nèi)拋物線上的一動點,問:當(dāng)點M在何處時,AMA的面積最大?最大面積是多少?并求出此時M的坐標;

(3)若P為拋物線上一動點,Nx軸上的一動點,點Q坐標為(1,0),當(dāng)P、NBQ構(gòu)成平行四邊形時,求點P的坐標,當(dāng)這個平行四邊形為矩形時,求點N的坐標.

【答案】1y=-x23x4;(2△AMA′的面積最大SAMA′8M2,6);(3)當(dāng)P104),P23,4),P3,4),P4,-4)時,P、NBQ構(gòu)成平行四邊形;當(dāng)這個平行四邊形為矩形時,N10,0),N23,0.

【解析】試題分析:(1)先由OA′OA得到點A′的坐標,再用點CAA′的坐標即可求此拋物線的解析式;(2)連接AA′, 過點M MN⊥x軸,交AA′于點N,△AMA′分割為△AMN△A′MN, △AMA′的面積=△AMA′的面積+△AMN的面積=OA′MN,設(shè)點M的橫坐標為x,借助拋物線的解析式和AA′的解析式,建立MN的長關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,再據(jù)此建立△AMA′的面積關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式,再求△AMA′面積的最大值以及此時M的坐標;(3)在P、N、BQ 這四個點中,BQ 這兩個點是固定點,因此可以考慮將BQ作為邊、將BQ作為對角線分別構(gòu)造符合題意的圖形,再求解.

試題解析:(1平行四邊形ABOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到平行四邊形A′B′OC′,點A的坐標是(0,4),A′的坐標為(40),點B的坐標為(1,4.

拋物線過點C,AA′,設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為yax2bxca≠0,可得:

. 解得:.∴拋物線的函數(shù)解析式為y=-x23x4.

2)連接AA′,設(shè)直線AA′的函數(shù)解析式為ykxb,可得

.解得:.

直線AA'的函數(shù)解析式是y=-x4.

設(shè)Mx,-x23x4),

SAMA′×4×[x23x4一(一x4]=一2x28x=一2x228.

∴x2時,△AMA′的面積最大SAMA′8

∴M26.

3)設(shè)P點的坐標為(x,-x23x4),當(dāng)P、NB、Q構(gòu)成平行四邊形時,

當(dāng)BQ為邊時,PN∥BQPNBQ

∵BQ4,x23x4±4.

當(dāng)一x23x44時,x10x23,即P10,4),P23,4);

當(dāng)一x23x4=一4時,x3,x4,即P3,4),P4,-4);

當(dāng)BQ為對角線時,PB∥x軸,即P104),P234;

當(dāng)這個平行四邊形為矩形時,即Pl0,4),P234)時,N10,0),N230.

綜上所述,當(dāng)P104),P234),P3,4),P4,-4)時,PN、BQ構(gòu)成平行四邊形;當(dāng)這個平行四邊形為矩形時,N10,0),N23,0.

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