Question

如圖，以Rt△ABC的邊AB為直徑的⊙O交斜邊AC于點(diǎn)D，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，AF交⊙O于點(diǎn)E，且∠C=∠BAF．
（1）求證：DE∥AB；
（2）若⊙O的半徑為5，AE=2AD，求DE的長．

Answer 1

（1）證明：如圖1，連DB，
∵AB為直徑，
∴DB⊥AC，
∵△ABC為直角三角形，
∴∠C=∠ABD=∠DEA，
又∵∠C=∠BAF，
∴∠BAF=∠DEA，
∴DE∥AB；

（2）解：連BE，
∵DE∥AB，
∴∠BAE=∠AED，
∴AD=BE，
在Rt△ABD與Rt△BAE中，
∵，
∴Rt△ABD≌Rt△BAE（HL），
∴BD=AE=2AD，
設(shè)AD=x，則BD=2x，
在Rt△ABD中，x²+（2x）²=10²，
∴AD=2，BD=4
過D作DM⊥AB，過O作ON⊥ED，
∴AD•BD=AB•DM，
∴DM===4=ON，
連OD，在Rt△OND中，
∵DN===3，
∴ED=2DN=6．
分析：（1）連DB，根據(jù)AB為直徑可知DB⊥AC，由于△ABC為直角三角形，所以∠C=∠ABD=∠DEA，再根據(jù)∠C=∠BAF可知∠BAF=∠DEA，故可得出結(jié)論；
（2）連BE，由（1）知DE∥AB，故可得出AD=BE，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABD≌Rt△BAE，所以BD=AE=2AD，設(shè)AD=x，則BD=2x，在Rt△ABD中根據(jù)勾股定理可求出AD，BD的長，過D作DM⊥AB，過O作ON⊥ED，由AD•BD=AB•DM可得出DM的長，連OD，在Rt△OND中，由勾股定理可求出DN的長，由ED=2DN即可得出結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查的是圓周角角定理，即在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．