如圖1，點C將線段AB分成兩部分，如果
AC
AB
=
BC
AC
，那么稱點C為線段AB的黃金分割點．某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果
S1
S
=
S2
S1
，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．

（1）研究小組猜想：在△ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點（如圖2），則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認為對嗎？為什么？
（2）研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點C任作一條直線交AB于點E，再過點D作直線DF∥CE，交AC于點F，連接EF（如圖3），則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請你說明理由．
分析：（1）設(shè)△ABC的邊AB上的高為h，由三角形的面積公式即可得出
S△ADC
S△ABC
=
AD
AB
，
S△BDC
S△ADC
=
BD
AD
，再由點D為邊AB的黃金分割點可得出
S△ADC
S△ABC
=
S△BDC
S△ADC
，故可得出結(jié)論；
（2）由DF∥CE可知△DEC和△FCE的公共邊CE上的高也相等，故S△DEC=S△FCE，設(shè)直線EF與CD交于點G，由同底等高的三角形的面積相等可知S△DEG=S△FEG，故可得出S△ADC=S四邊形AFGD+S△FCG=S△AEF，再由S△BDC=S四邊形BEFC，再由
S△ADC
S△ABC
=
S△BDC
S△ADC
可知
S△AEF
S△ABC
=
S四邊形BEFC
S△AEF
，故直線EF也是△ABC的黃金分割線．
解答：解：（1）直線CD是△ABC的黃金分割線．理由如下：
設(shè)△ABC的邊AB上的高為h．
∵S△ADC=
1
2
AD•h，S△BDC=
1
2
BD•h，S△ABC=
1
2
AB•h，
∴
S△ADC
S△ABC
=
AD
AB
，
S△BDC
S△ADC
=
BD
AD
，
又∵點D為邊AB的黃金分割點，
∴
AD
AB
=
BD
AD
，
∴
S△ADC
S△ABC
=
S△BDC
S△ADC
，
∴直線CD是△ABC的黃金分割線；

（2）∵DF∥CE，
∴△DEC和△FCE的公共邊CE上的高也相等，
∴S△DEC=S△FCE，
設(shè)直線EF與CD交于點G，
∴S△DEG=S△FCG，
∴S△ADC=S四邊形AFGD+S△FCG=S四邊形AFGD+S△DGE=S△AEF，
S△BDC=S四邊形BEFC，．
又∵
S△ADC
S△ABC
=
S△BDC
S△ADC
，
∴
S△AEF
S△ABC
=
S四邊形BEFC
S△AEF
，
∴直線EF也是△ABC的黃金分割線．
點評：本題考查的是相似形綜合題，涉及到平行線的性質(zhì)及三角形的面積公式，根據(jù)題意理解黃金分割點及分割線的定義是解答此題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1，點C將線段AB分成兩部分，如果
AC
AB
=
BC
AC
，那么稱點C為線段AB的黃金分割點．
（1）某研究小組在進行課題學習時，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果
S1
S
=
S2
S1
，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．（如圖2）精英家教網(wǎng)
問題．試在圖3的梯形中畫出至少五條黃金分割線，并說明理由．
（2）類似“黃金分割線”得“黃金分割面”定義：截面a將一個體積為V的圖形分成體積為V精英家教網(wǎng)1、V2的兩個圖形，且
V1
V
=
V2
V1
，則稱直線a為該圖形的黃金分割面．
問題：如圖4，長方體ABCD-EFGH中，T是線段AB上的黃金分割點，證明經(jīng)過T點且平行于平面BCGF的截面QRST是長方體的黃金分割面．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1，點C將線段AB分成兩部分，如果
AC
AB
=
BC
AC
，那么稱點C為線段AB的黃金分割點．某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果
S1
S
=
S2
S1
，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．
（1）研究小組猜想：在△ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點（如圖2），則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認為對嗎？為什么？
（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？
（3）研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點C任作一條直線交AB于點E，再過點D作直線DF∥CE，交AC于點F，連接EF（如圖3），則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請你說明理由．
（4）如圖4，點E是平行四邊形ABCD的邊AB的黃金分割點，過點E作EF∥AD，交DC于點F，顯然直線EF是平行四邊形ABCD的黃金分割線．請你畫一條平行四邊形ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過平行四邊形ABCD各邊黃金分割點．
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•黃石）如圖1，點C將線段AB分成兩部分，如果
AC
AB
=
BC
AC
，那么稱點C為線段AB的黃金分割點．某數(shù)學興趣小組在進行課題研究時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1、S2，如果
S1
S
=
S2
S1
，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．
（1）如圖2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分線交AB于點D，請問點D是否是AB邊上的黃金分割點，并證明你的結(jié)論；
（2）若△ABC在（1）的條件下，如圖3，請問直線CD是不是△ABC的黃金分割線，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖4，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，對角線AC、BD交于點F，延長AB、DC交于點E，連接EF交梯形上、下底于G、H兩點，請問直線GH是不是直角梯形ABCD的黃金分割線，并證明你的結(jié)論．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分10分）如圖1，點C將線段AB分成兩部分，如果AB : AC=AC : BC，那么稱點C為線段的黃金分割點．某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1: S2，如果S : S1= S1: S2，，那么稱直線為該圖形的黃金分割線．

（1）研究小組猜想：在△ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點（如圖2），則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認為對嗎？為什么？

（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？

（3）研究小組探究發(fā)現(xiàn)：在（1）中，過點C任作AE交AB于E，再過點D作，交 AC于點F，連接EF（如圖3），則直線EF是△ABC的黃金分割線．請說明理由．

（4）如圖4，點E是ABCD的邊AB的黃金分割點，過點E作，交DC于點F，顯然直線EF是ABCD的黃金分割線．請你再畫一條ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過ABCD各邊黃金分割點（保留必要的輔助線）．

 

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