Question

如圖，⊙O和⊙O′都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，點(diǎn)P在BA延長(zhǎng)線上，過(guò)P作⊙O的割線PCD交⊙O于C、D兩點(diǎn)，作⊙O′的切線PE切⊙O′于點(diǎn)E．若PC=4，CD=8，⊙O的半徑為5．
（1）求PE的長(zhǎng)；
（2）求△COD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）在⊙O中，根據(jù)割線定理，得PC•PD=PA•PB；在⊙O′中，由切割線定理，得PE²=PA•PB；聯(lián)立兩式得PE²=PC•PD，由此可求出PE的長(zhǎng)．
（2）△COD中，已知底邊CD的長(zhǎng)，需求出CD邊上的高；過(guò)O作CD的垂線，設(shè)垂足為F；由垂徑定理得CF=FD=4；在Rt△COF中，已知了OC的長(zhǎng)，可用勾股定理求出OF的長(zhǎng)；進(jìn)而可根據(jù)三角形的面積公式求得△COD的面積．
解答：解：（1）∵PD、PB分別交⊙O于C、D和A、B；
根據(jù)割線定理得PA•PB=PC•PD．
又∵PE為⊙O′的切線，PAB為⊙O′的割線；
根據(jù)切割線定理得PE²=PA•PB．
即PE²=PC•PD=4×（4+8）=48；
∴PE=4．

（2）在⊙O中過(guò)O點(diǎn)作OF⊥CD，垂足為F；
根據(jù)垂徑定理知OF平分弦CD，即CF=CD=4；
在Rt△OFC中，OF²=OC²-CF²=5²-4²=9；
∴OF=3；
∴S_△COD=CD•OF=×8×3=12個(gè)面積單位．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切割線定理、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)．求圓的弦長(zhǎng)、弦心距的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題．